Кіріспе

Математикадағы ұғым. Математикада, әсіресе математикалық талдауда, Коши көбейтіндісі – екі шексіз қатардың дискретті конволюциясы. Ол француз математигі Огюстен Луи Кошидің құрметіне аталған.

Анықтамалар

Коши көбейтіндісі шексіз қатарларға немесе қуат қатарларына қолданылуы мүмкін. Егер оны шекті тізбектерге немесе шекті қатарларға қолданса, оны тек нөлдік емес коэффициенттерінің саны шекті болатын қатарлардың көбейтіндісінің ерекше жағдайы деп қарастыруға болады (дискретті конволюцияны қараңыз). Жығылу мәселелері келесі бөлімде талқыланады.

Екі шексіз қатардың Коши көбейтіндісі

Let және be - екі шексіз қатар, кешенді мүшелері бар. Осы екі шексіз қатардың Коши көбейтіндісі дискретті конволюция арқылы анықталады:

    мұндағы     .

Теорема

Егер және үшін тізбек А қосындысымен жинақталады және тізбек В қосындысымен жинақталады десек, онда олардың Коши көбейтіндісі АВ қосындысымен жинақталады.

Мысалдар

Кейбір жағдайларда, және деп алсақ, онда анықтамасы бойынша және биномдық формула бойынша . Формальды түрде, және болғандықтан, біз көрсеттік. Екі абсолютті түрде жинақты қатардың Cauchy көбейтіндісінің лиміті осы қатарлардың лимиттерінің көбейтіндісіне тең болғандықтан, біз барлық үшін формуласын дәлелдедік. Екінші мысал ретінде, барлық үшін деп алсақ, онда барлық үшін , сондықтан Cauchy көбейтіндісі жинақталмайды.

Жалпылау

Жоғарыда айтылғандардың барлығы (кешенді сандар) тізбектеріне қатысты. Коши көбейтіндісі (Евклид кеңістіктері) векторлық кеңістіктерінде, онда көбейту ішкі көбейтінді болып табылады, анықталуы мүмкін. Осы жағдайда, егер екі қатар абсолютті түрде жинақталса, олардың Коши көбейтіндісі шектерінің ішкі көбейтіндісіне абсолютті түрде жинақталады.

Функциялардың ыдырауына қатынасы

Шекті тізбекті тек шекті сандағы нөлдік емес мүшелері бар шексіз тізбек ретінде қарастыруға болады, немесе басқаша айтқанда, шекті қолдауы бар функция ретінде. Кез келген кешенді мәнді f, g функциялары үшін шекті қолдаумен, олардың конволюциясын алуға болады:

Содан кейін - бұл және тізбектерінің Коши көбейтіндісімен бірдей.
Кеңірек айтқанда, егер моноид S берілген болса, S-тің жартылай топ алгебрасын құруға болады, онда көбейту конволюция арқылы беріледі. Мысалы, егер , онда көбейтуі Коши көбейтіндісінің жоғары өлшемге обобщениесі болып табылады.