Введение

Разложение компактного ориентированного 3-многообразия путем его разбиения на два тела-ручки. В математической области геометрической топологии, расслоение Хигаарда — это разложение компактного ориентированного 3-многообразия, полученное в результате его разбиения на два тела-ручки.

Определения

Пусть V и W — тела с ручками рода g, а ƒ — гомеоморфизм, меняющий ориентацию, с границы V на границу W. Приклеив V к W вдоль ƒ, мы получаем компактное ориентированное 3-многообразие. Любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие может быть получено таким образом; это следует из глубоких результатов о триангулируемости трехмерных многообразий, полученных Моизом. Это резко контрастирует с многообразиями большей размерности, которым не всегда можно приписать гладкие или кусочно-линейные структуры. При условии гладкости существование расщепления Хигаарда также следует из работ Смаля о разложениях с ручками из теории Морзе. Разложение M на два тела с ручками называется расщеплением Хигаарда, а их общая граница H называется поверхностью Хигаарда этого расщепления. Расщепления рассматриваются с точностью до изотопии. Отображение склеивания ƒ необходимо задавать лишь с точностью до двойного косета в группе классов отображений H. Эта связь с группой классов отображений была впервые установлена В. Б. Р. Ликкоришем. Расщепления Хигаарда также могут быть определены для компактных 3-многообразий с границей путем замены тел с ручками на тела сжатия. Отображение склеивания задается между положительными границами тел сжатия. Замкнутая кривая называется существенной, если она не гомотопна точке, проколу или компоненте границы. Расщепление Хигаарда называется редуцируемым, если на H существует существенная простая замкнутая кривая, ограничивающая диск как в V, так и в W. Расщепление называется нередуцируемым, если оно не является редуцируемым. Из леммы Хакена следует, что в редуцируемом многообразии любое расщепление является редуцируемым. Расщепление Хигаарда стабилизируется, если существуют существенные простые замкнутые кривые и на H, где ограничивает диск в V, ограничивает диск в W, а и пересекаются ровно в одной точке. Из теоремы Вальдхаузена следует, что любое редуцируемое расщепление нередуцируемого многообразия стабилизируется. Расщепление Хигаарда слабо редуцируемо, если существуют непересекающиеся существенные простые замкнутые кривые и на H, где ограничивает диск в V и ограничивает диск в W. Расщепление сильно нередуцируемо, если оно не слабо редуцируемо. Расщепление Хигаарда является минимальным или минимального рода, если не существует другого расщепления окружающего трехмерного многообразия с меньшим родом. Минимальное значение g поверхности расщепления является родом Хигаарда M.

Обобщенные деления по Хигаарду

Обобщенное деление Хигарда многообразия M — это разложение на компрессионные тела и поверхности, такое, что и . Внутренности компрессионных тел должны быть попарно непересекающимися, и их объединение должно составлять все M. Поверхность S образует поверхность Хигарда для подмногообразия в M (обратите внимание, что здесь каждому Vi и Wi разрешено иметь более одной компоненты). Обобщенное деление Хигарда называется сильно неразложимым, если каждый Vi сильно неразложим. Существует аналогичное понятие тонкой позиции, определенное для узлов, применительно к делениям Хигарда. Сложность связной поверхности S, c(S), определяется как ; сложность несвязной поверхности — это сумма сложностей ее компонент. Сложность обобщенного деления Хигарда — это мультимножество {c(Si)}, где индекс пробегает по поверхностям Хигарда в обобщенном делении. Эти мультимножества можно хорошо упорядочить лексикографическим порядком (монотонно убывающим). Обобщенное деление Хигарда является тонким, если его сложность минимальна.

Примеры

Три сферы Три сферы — это множество векторов в ℝ³ с длиной, равной единице. Пересечение этого множества с гиперплоскостью дает двухмерную сферу. Это стандартное разложение рода нуль. И наоборот, согласно трюку Александра, все многообразия, допускающие разложение рода нуль, гомеоморфны ℝ³. Стабилизация. Для заданного распределения Хигаарда H в многообразии M, стабилизация H формируется путем взятия связной суммы пары (M, H) с парой (S³ × S¹, H'). Легко показать, что процедура стабилизации приводит к стабилизированным разложениям. Индуктивно, разложение считается стандартным, если оно является стабилизацией стандартного разложения. Пространства линз. Все они имеют стандартное разложение рода один. Это образ тора Клиффорда в ℝ³ под факторным отображением, используемым для определения рассматриваемого пространства линз. Из структуры группы классов отображений двумерного тора следует, что только пространства линз имеют разложения рода один. Три тора. Напомним, что трехмерный тор T³ является декартовым произведением трех копий окружности S¹. Пусть p — точка в T³, и рассмотрим граф V, являющийся регулярной окрестностью точки p. Легко показать, что V является тело-ручкой, как и T³ \ V. Таким образом, граница V в T³ является разложением Хигаарда, и это стандартное разложение T³. Чарльз Фрохман и Джоэль Хасс доказали, что любое другое разложение трехмерного тора рода 3 по Хигаарду топологически эквивалентно этому. Мишель Буайо и Жан-Пьер Оталь доказали, что в общем случае любое разложение трехмерного тора по Хигаарду эквивалентно результату стабилизации этого примера.

Теоремы

Лемма Александра С точностью до изотопии существует единственное (по кусочно-линейное) вложение двухмерной сферы в трехмерную сферу. (В более высоких размерностях это известно как теорема Шенфлайса. В двумерном случае это теорема Жордана о кривой.) Это можно перефразировать следующим образом: расщепление рода нуль единственно. Теорема Вальдхаузена Любое расщепление получается стабилизацией единственного расщепления рода нуль. Пусть теперь M – замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие. Теорема Ридемайстера — Зингера Для любой пары расщеплений и в M существует третье расщепление в M, являющееся стабилизацией обоих. Лемма Хакена Пусть – существенная двумерная сфера в M, а H – разделение Хигарда. Тогда существует существенная двумерная сфера в M, пересекающая H в единственной кривой.

Классификации

Существует несколько классов трехмерных многообразий, для которых множество расщеплений Хигаарда полностью известно. Например, теорема Вальдхаузена показывает, что все расщепления для являются стандартными. То же самое верно и для пространств линз (как доказали Фрэнсис Бонахон и Оталь). Расщепления волокнистых пространств Сейферта более сложны. В этом случае все расщепления могут быть изотопно преобразованы к вертикальным или горизонтальным (как доказали Йоав Мориа и Дженнифер Шультенс). Также классифицированы расщепления расслоений торов (которые включают все трехмерные многообразия с геометрией Сола). Из их работы следует, что все расслоения торов имеют единственное расщепление минимального рода. Все остальные расщепления расслоения тора являются стабилизациями расщепления минимального рода. По состоянию на 2008 год, единственными гиперболическими трехмерными многообразиями, расщепления Хигаарда которых классифицированы, являются дополнения к узлам с двумя мостами, в статье Цуёси Кобаяси.

Минимальные поверхности

Хигаардские расщепления впервые появились в теории минимальных поверхностей в работах Блейна Лоусона, который доказал, что погруженные минимальные поверхности в компактных многообразиях с положительной секционной кривизной являются Хигаардскими расщеплениями. Уильям Микс распространил этот результат на плоские многообразия, однако он доказал, что погруженная минимальная поверхность в плоском трехмерном многообразии является либо поверхностью Хигаарда, либо полностью геодезической. Микс и Шинг Тунг Яу затем использовали результаты Вальдхаузена для доказательства теорем о топологической единственности минимальных поверхностей конечного рода. Окончательная топологическая классификация погруженных минимальных поверхностей была дана Миксом и Фрохманом. Этот результат в значительной степени опирался на методы, разработанные для изучения топологии Хигаардских расщеплений.

Гомология Heegaard Floer

Диаграммы Хигарда, представляющие собой простые комбинаторные описания расслоений Хигарда, широко применялись для построения инвариантов трехмерных многообразий. Наиболее свежим примером является гомология Хегора-Флоэра, разработанная Питером Озсватом и Золтаном Сабо. В этой теории симметричное произведение поверхности Хигарда используется в качестве окружающего пространства, а торы, построенные из границ меридианных дисков для двух ручек, выступают в роли лагранжевых подмногообразий.

История

Идея деления Хигаарда была введена . Хотя деления Хигаарда интенсивно изучались математиками, такими как Вольфганг Хакен и Фридхельм Вальдхаузен в 1960-х годах, лишь спустя несколько десятилетий эта область была возрождена, главным образом благодаря их концепции сильной неприводимости.