Боромейские кольца: Топологическая связь и применения

Введение

Три связанных, но попарно разделенных кольца. В математике, борромеевские кольца — это три простые замкнутые кривые в трёхмерном пространстве, которые топологически связаны и не могут быть разделены друг от друга, но распадаются на две несвязанные петли при разрезании или удалении любого из трех колец. Чаще всего эти кольца изображаются в виде трех окружностей на плоскости, расположенных по принципу диаграммы Венна, с чередующимся перекрытием друг над другом в точках пересечения. Любые другие тройки кривых считаются борромеевскими кольцами, если они топологически эквивалентны изображенным кривым. Борромеевские кольца названы в честь итальянского рода Борромео, который использовал круговую форму этих колец в своем гербе, однако конструкции, основанные на борромеевских кольцах, использовались во многих культурах, включая норманнов и в Японии. Они применялись в христианской символике как символ Троицы, а в современной коммерции — в качестве логотипа пива Ballantine, что дало им альтернативное название — кольца Ballantine. Физические модели борромеевских колец были созданы из связанных молекул ДНК и других молекул, и они имеют аналоги в состоянии Эфимова и борромеевских ядрах, в обоих случаях три компонента связаны друг с другом, хотя ни один из них не связан попарно. Геометрически борромеевские кольца могут быть реализованы с помощью связанных эллипсов или (используя вершины правильного икосаэдра) связанных золотых прямоугольников. Невозможно реализовать их с помощью окружностей в трехмерном пространстве, но предполагается, что они могут быть реализованы копиями любой некруговой простой замкнутой кривой в пространстве. В теории узлов можно доказать, что борромеевские кольца связаны, подсчитывая их раскраски Фокса n. Как звенья, они являются брунниевскими, чередующимися, алгебраическими и гиперболическими. В арифметической топологии определенные тройки простых чисел обладают аналогичными свойствами связности, как и борромеевские кольца.

Определение и обозначение

В математических публикациях, определяющих кольца Борромея, обычно используется схема ссылок – чертёж кривых на плоскости с отмеченными пересечениями, указывающими, какая кривая или часть кривой проходит над или под другой в каждой точке пересечения. Такой чертёж можно преобразовать в систему кривых в трёхмерном пространстве, вложив плоскость в пространство и деформируя кривые, нарисованные на ней, над или под вложенной плоскостью в каждой точке пересечения, как это показано на чертеже. Наиболее часто используемый чертёж для колец Борромея состоит из трёх равных окружностей, центры которых расположены в вершинах равностороннего треугольника, расположенных достаточно близко друг к другу, чтобы их внутренние области имели общую точку пересечения (как, например, в диаграмме Венна или в трёх окружностях, используемых для определения треугольника Рейо). Пересечения поочередно чередуются между «над» и «под», если рассматривать их последовательно вокруг каждой окружности; другой эквивалентный способ описать взаимное расположение окружностей заключается в том, что каждая окружность проходит над второй окружностью в обеих точках их пересечения и под третьей окружностью в обеих точках их пересечения. Две ссылки считаются эквивалентными, если существует непрерывная деформация пространства (окружающая изотопия), переводящая одну в другую, и под кольцами Борромея могут подразумеваться любые ссылки, эквивалентные в этом смысле стандартному чертежу этой ссылки. В «Атласе узлов» кольца Борромея обозначаются кодом «L6a4»; это обозначение указывает, что это ссылка с шестью пересечениями и чередующимся чертежом, четвёртая из пяти чередующихся 6-пересекающихся ссылок, идентифицированных Морвеном Тистлвейтом в списке всех простых ссылок с числом пересечений до 13. В таблицах узлов и ссылок в книге Дейла Рольфсена «Узлы и ссылки» (1976 г.), расширяющих более ранние списки, составленные Александром и Бриггсом в 1920-х годах, кольцам Борромея была присвоена нотация Александра–Бриггса «6», что означает, что это вторая из трёх 6-пересекающихся 3-компонентных ссылок в списке. Конвеевская нотация для колец Борромея, «.1», представляет собой сокращённое описание стандартного чертежа этой ссылки.

It is common in mathematics publications that define the Borromean rings to do so as a link diagram, a drawing of curves in the plane with crossings marked to indicate which curve or part of a curve passes above or below at each crossing. Such a drawing can be transformed into a system of curves in three dimensional space by embedding the plane into space and deforming the curves drawn on it above or below the embedded plane at each crossing, as indicated in the diagram. The commonly used diagram for the Borromean rings consists of three equal circles centered at the points of an equilateral triangle, close enough together that their interiors have a common intersection (such as in a Venn diagram or the three circles used to define the Reuleaux triangle). Its crossings alternate between above and below when considered in consecutive order around each circle; another equivalent way to describe the over under relation between the three circles is that each circle passes over a second circle at both of their crossings, and under the third circle at both of their crossings. Two links are said to be equivalent if there is a continuous deformation of space (an ambient isotopy) taking one to another, and the Borromean rings may refer to any link that is equivalent in this sense to the standard diagram for this link. In The Knot Atlas, the Borromean rings are denoted with the code "L6a4"; the notation means that this is a link with six crossings and an alternating diagram, the fourth of five alternating 6 crossing links identified by Morwen Thistlethwaite in a list of all prime links with up to 13 crossings. In the tables of knots and links in Dale Rolfsen's 1976 book Knots and Links, extending earlier listings in the 1920s by Alexander and Briggs, the Borromean rings were given the Alexander–Briggs notation "6", meaning that this is the second of three 6 crossing 3 component links to be listed. The Conway notation for the Borromean rings, ".1", is an abbreviated description of the standard link diagram for this link.

История и символика

Название «борромеевские кольца» происходит от использования этих колец в виде трех соединенных кругов в гербе аристократической семьи Борромео в Северной Италии. Сам узел значительно старше и встречается в виде валькнута – трех соединенных равносторонних треугольников с параллельными сторонами – на скандинавских камнях с изображениями, датируемых VII веком. Храм Омива в Японии также украшен мотивом борромеевских колец в их традиционной круглой форме. Каменный столб в храме Марундеесварара в Индии VI века изображает три равносторонних треугольника, повернутых относительно друг друга и образующих правильную энеаграмму; подобно борромеевским кольцам, эти три треугольника соединены друг с другом, а не попарно, однако эта схема пересечения описывает узел, отличный от борромеевских колец. Борромеевские кольца использовались в различных контекстах для обозначения силы в единстве. В частности, некоторые используют их для символизации Троицы. Французская рукопись XIII века с изображением борромеевских колец, обозначенных как единство в троице, была утеряна при пожаре в 1940-х годах, но воспроизведена в книге 1843 года Адольфа Наполеона Дидрона. Дидрон и другие предполагали, что описание Троицы как трех равных кругов в 33-й песне «Рая» Данте было вдохновлено подобными изображениями, хотя Данте не детализирует геометрическое расположение этих кругов. Психоаналитик Жак Лакан нашел вдохновение в борромеевских кольцах как в модели для своей топологии человеческой субъективности, где каждое кольцо представляет собой фундаментальный лакановский компонент реальности («реальное», «воображаемое» и «символическое»). Кольца использовались в качестве логотипа пива Ballantine и до сих пор используются брендом Ballantine, который сейчас распространяется нынешним владельцем бренда – пивоваренной компанией Pabst. По этой причине их иногда называют «кольцами Баллантайн». Первой работой по теории узлов, включившей борромеевские кольца, был каталог узлов и связей, составленный в 1876 году Питером Тайтом. В развлекательной математике борромеевские кольца были популяризированы Мартином Гарднером, который представил поверхности Зейферта для борромеевских колец в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в сентябре 1961 года. В 2006 году Международный математический союз на 25-м Международном конгрессе математиков в Мадриде, Испания, принял решение использовать новый логотип, основанный на борромеевских кольцах.

The name "Borromean rings" comes from the use of these rings, in the form of three linked circles, in the coat of arms of the aristocratic Borromeo family in Northern Italy. The link itself is much older and has appeared in the form of the valknut, three linked equilateral triangles with parallel sides, on Norse image stones dating back to the 7th century. The Ōmiwa Shrine in Japan is also decorated with a motif of the Borromean rings, in their conventional circular form. A stone pillar in the 6th century Marundeeswarar Temple in India shows three equilateral triangles rotated from each other to form a regular enneagram; like the Borromean rings these three triangles are linked and not pairwise linked, but this crossing pattern describes a different link than the Borromean rings. The Borromean rings have been used in different contexts to indicate strength in unity. In particular, some have used the design to symbolize the Trinity. A 13th century French manuscript depicting the Borromean rings labeled as unity in trinity was lost in a fire in the 1940s, but reproduced in an 1843 book by Adolphe Napoléon Didron. Didron and others have speculated that the description of the Trinity as three equal circles in canto 33 of Dante's Paradiso was inspired by similar images, although Dante does not detail the geometric arrangement of these circles. The psychoanalyst Jacques Lacan found inspiration in the Borromean rings as a model for his topology of human subjectivity, with each ring representing a fundamental Lacanian component of reality (the "real", the "imaginary", and the "symbolic"). The rings were used as the logo of Ballantine beer, and are still used by the Ballantine brand beer, now distributed by the current brand owner, the Pabst Brewing Company. For this reason they have sometimes been called the "Ballantine rings". The first work of knot theory to include the Borromean rings was a catalog of knots and links compiled in 1876 by Peter Tait. In recreational mathematics, the Borromean rings were popularized by Martin Gardner, who featured Seifert surfaces for the Borromean rings in his September 1961 "Mathematical Games" column in Scientific American. In 2006, the International Mathematical Union decided at the 25th International Congress of Mathematicians in Madrid, Spain to use a new logo based on the Borromean rings.

Частичные и многократные кольца

В средневековой и ренессансной Европе ряд визуальных знаков состоит из трех элементов, переплетенных вместе таким же образом, как кольца Борромея (в их традиционном двумерном изображении), но отдельные элементы при этом не образуют замкнутых контуров. Примерами таких символов служат каменные рога из Снольделева и полумесяцы Дианы де Пуатье. Некоторые теоретико-узловые переплетения содержат несколько конфигураций, подобных кольцам Борромея; одна пятипетлевая структура такого типа используется в качестве символа в дискордианстве, основываясь на изображении в «Principia Discordia».

Связь

В теории узлов, Борромеевские кольца являются простым примером брунниевской связки, связки, которую нельзя разъединить, но которая распадается на отдельные незапутанные петли, как только удаляется любой из её компонентов. Существует бесконечно много брунниевских связок, и бесконечно много трехкриволинейных брунниевских связок, среди которых Борромеевские кольца – самые простые. Существует несколько способов убедиться, что Борромеевские кольца зацеплены. Один из них – использование раскрасок Фокса с n цветами, то есть раскраски дуг диаграммы связки целыми числами по модулю n, так, чтобы в каждом пересечении среднее значение двух цветов в нижней ветви (по модулю n) совпадало со цветом верхней ветви, и при этом использовалось как минимум два цвета. Количество раскрасок, удовлетворяющих этим условиям, является инвариантом узла, не зависящим от выбранной диаграммы связки. Тривиальная связка с тремя компонентами имеет раскрасок, полученных из её стандартной диаграммы путем независимого выбора цвета для каждого компонента и отбрасывания раскрасок, использующих только один цвет. Для стандартной диаграммы Борромеевских колец, напротив, одни и те же пары дуг встречаются в двух нижних пересечениях, что вынуждает дуги, пересекающиеся над ними, иметь одинаковый цвет, из чего следует, что единственные раскраски, удовлетворяющие условиям пересечения, нарушают условие использования более одного цвета. Поскольку тривиальная связка имеет множество допустимых раскрасок, а Борромеевские кольца – ни одной, они не могут быть эквивалентны. Борромеевские кольца являются чередующимися связками, поскольку их обычная диаграмма связки имеет пересечения, которые чередуются между прохождением над и под каждой кривой вдоль кривой. Они также являются алгебраической связкой, связкой, которую можно разложить сферами Конвея на 2 запутывания. Это простейшая чередующаяся алгебраическая связка, не имеющая диаграммы, которая одновременно была бы чередующейся и алгебраической. Из гипотез Тейта следует, что число пересечений Борромеевских колец (минимальное количество пересечений в любой из их диаграмм связки) равно 6, что соответствует числу пересечений в их чередующейся диаграмме.

In knot theory, the Borromean rings are a simple example of a Brunnian link, a link that cannot be separated but that falls apart into separate unknotted loops as soon as any one of its components is removed. There are infinitely many Brunnian links, and infinitely many three curve Brunnian links, of which the Borromean rings are the simplest. There are a number of ways of seeing that the Borromean rings are linked. One is to use Fox n colorings, colorings of the arcs of a link diagram with the integers modulo n so that at each crossing, the two colors at the undercrossing have the same average (modulo n) as the color of the overcrossing arc, and so that at least two colors are used. The number of colorings meeting these conditions is a knot invariant, independent of the diagram chosen for the link. A trivial link with three components has colorings, obtained from its standard diagram by choosing a color independently for each component and discarding the colorings that only use one color. For standard diagram of the Borromean rings, on the other hand, the same pairs of arcs meet at two undercrossings, forcing the arcs that cross over them to have the same color as each other, from which it follows that the only colorings that meet the crossing conditions violate the condition of using more than one color. Because the trivial link has many valid colorings and the Borromean rings have none, they cannot be equivalent. The Borromean rings are an alternating link, as their conventional link diagram has crossings that alternate between passing over and under each curve, in order along the curve. They are also an algebraic link, a link that can be decomposed by Conway spheres into 2 tangles. They are the simplest alternating algebraic link which does not have a diagram that is simultaneously alternating and algebraic. It follows from the Tait conjectures that the crossing number of the Borromean rings (the fewest crossings in any of their link diagrams) is 6, the number of crossings in their alternating diagram.

Форма кольца

Борромеевы кольца обычно изображаются с кольцами, проецирующимися в окружности в плоскости рисунка, но трехмерные круговые борромеевы кольца являются невозможным объектом: невозможно сформировать борромеевы кольца из окружностей в трехмерном пространстве. В более общем виде, с помощью четырехмерной гиперболической геометрии было доказано, что никакая брунновская связь не может быть идеально круглой. Для трех колец в их обычной борромеевой конфигурации это можно увидеть, рассмотрев диаграмму связей. Если предположить, что два круга касаются друг друга в двух точках пересечения, то они лежат либо в плоскости, либо в сфере. В любом случае, третий круг должен пересекать эту плоскость или сферу четыре раза, не лежа в ней, что невозможно. Другой аргумент в пользу невозможности круговых реализаций, предложенный Хельге Твербергом, использует инверсивную геометрию для преобразования любых трех окружностей так, что одна из них становится прямой линией, что упрощает доказательство того, что другие две окружности не связываются с ней, образуя борромеевы кольца. Однако борромеевы кольца могут быть реализованы с использованием эллипсов. Их можно считать с произвольно малой эксцентриситетом: независимо от того, насколько близка к круговой их форма, до тех пор пока они не являются идеально круговыми, они могут образовывать борромеевы связи при соответствующем расположении. Реализацию борромеевых колец тремя взаимно перпендикулярными золотыми прямоугольниками можно найти внутри правильного икосаэдра, соединив три противоположные пары его ребер. Любые три незапутанных многоугольника в евклидовом пространстве могут быть объединены после подходящего масштабирования для формирования борромеевых колец. Если все три многоугольника плоские, масштабирование не требуется. В частности, поскольку борромеевы кольца могут быть реализованы тремя треугольниками, минимальное число сторон, возможное для каждой из его петель, – число палочек борромеевых колец – равно девяти. В более общем виде Мэтью Кук предположил, что любые три незапутанных простые замкнутые кривые в пространстве, не все окружности, могут быть объединены без масштабирования для формирования борромеевых колец. После того как Джейсон Кантарелла предложил возможный контрпример, Хью Нельсон Ховардс ослабил гипотезу, применив ее к любым трем плоским кривым, которые не являются окружностями. С другой стороны, хотя существует бесконечно много брунновских связей с тремя звеньями, борромеевы кольца являются единственными, которые могут быть сформированы из трех выпуклых кривых.

The Borromean rings are typically drawn with their rings projecting to circles in the plane of the drawing, but three dimensional circular Borromean rings are an impossible object: it is not possible to form the Borromean rings from circles in three dimensional space. More generally proved using four dimensional hyperbolic geometry that no Brunnian link can be exactly circular. For three rings in their conventional Borromean arrangement, this can be seen from considering the link diagram. If one assumes that two of the circles touch at their two crossing points, then they lie in either a plane or a sphere. In either case, the third circle must pass through this plane or sphere four times, without lying in it, which is impossible. Another argument for the impossibility of circular realizations, by Helge Tverberg, uses inversive geometry to transform any three circles so that one of them becomes a line, making it easier to argue that the other two circles do not link with it to form the Borromean rings. However, the Borromean rings can be realized using ellipses. These may be taken to be of arbitrarily small eccentricity: no matter how close to being circular their shape may be, as long as they are not perfectly circular, they can form Borromean links if suitably positioned. A realization of the Borromean rings by three mutually perpendicular golden rectangles can be found within a regular icosahedron by connecting three opposite pairs of its edges. Every three unknotted polygons in Euclidean space may be combined, after a suitable scaling transformation, to form the Borromean rings. If all three polygons are planar, then scaling is not needed. In particular, because the Borromean rings can be realized by three triangles, the minimum number of sides possible for each of its loops, the stick number of the Borromean rings is nine. More generally, Matthew Cook has conjectured that any three unknotted simple closed curves in space, not all circles, can be combined without scaling to form the Borromean rings. After Jason Cantarella suggested a possible counterexample, Hugh Nelson Howards weakened the conjecture to apply to any three planar curves that are not all circles. On the other hand, although there are infinitely many Brunnian links with three links, the Borromean rings are the only one that can be formed from three convex curves.

Длина веревки

В теории узлов длина веревки узла или зацепления — это минимальная длина гибкой веревки (радиусом один), которая может его реализовать. Математически, такая реализация может быть описана гладкой кривой, радиус которой один трубчатая окрестность которой не содержит самопересечений. Минимальная длина веревки для колец Борромея не доказана, но наименьшее достигнутое значение реализуется тремя копиями двулопастной плоской кривой. Хотя она напоминает более ранний кандидат на минимальную длину веревки, построенный из четырех круговых дуг радиуса два, она незначительно модифицирована по сравнению с этой формой и состоит из 42 гладких сегментов, заданных эллиптическими интегралами, что делает её на долю процента короче, чем кусочно-круговая реализация. Именно эта реализация, предположительно минимизирующая длину веревки, была использована для логотипа Международного математического союза. Её длина равна , а наилучшая доказанная нижняя граница длины составляет . Для дискретного аналога длины веревки, кратчайшего представления, использующего только ребра целочисленной решетки, минимальная длина для колец Борромея равна точно . Это длина представления, использующего три целочисленных прямоугольника, вписанных в икосаэдр Джессена так же, как представление золотыми прямоугольниками вписано в правильный икосаэдр.

Гиперболическая геометрия

Борромеевы кольца — это гиперболическая связь: пространство, окружающее борромеевы кольца (их дополнение к связи), допускает полную гиперболическую метрику конечного объема. Хотя гиперболических связей сейчас считается много, борромеевы кольца были одним из первых примеров, для которых была доказана гиперболичность в 1970-х годах, и это дополнение к связи являлось центральным примером в видео «Not Knot», выпущенном в 1991 году Центром геометрии. Гиперболические многообразия могут быть разложены каноническим образом на склейки гиперболических многогранников (разложение Эпштейна — Пеннера), и для дополнения борромеевой связи это разложение состоит из двух идеальных правильных октаэдров. Объем дополнения борромеевой связи равен , где — функция Лобачевского, а — постоянная Каталана. Дополнение борромеевых колец является универсальным в том смысле, что любое замкнутое трехмерное многообразие является разветвленным накрытием над этим пространством.

Теория чисел

В арифметической топологии существует аналогия между узлами и простыми числами, в которой рассматриваются переплетения между простыми числами. Тройка простых чисел (13, 61, 937) образует переплетение по модулю 2 (символ Редея равен −1), но попарно не образует переплетения по модулю 2 (символы Лежандра равны 1). Поэтому эти простые числа называют "собственным борромеанским тройником по модулю 2" или "борромеанскими простыми числами по модулю 2".

Физические реализации

Узел "кулак обезьяны" по сути является трехмерным представлением борромеевских колец, хотя в большинстве случаев имеет три слоя. Скульптор Джон Робинсон создал произведения искусства из трех равносторонних треугольников из листового металла, соединенных в виде борромеевских колец и напоминающих трехмерную версию валькута. Распространенная конструкция складного деревянного штатива состоит из трех частей, вырезанных из цельного куска дерева, причем каждая часть включает в себя две деревянные детали – ножки и верхние элементы штатива – соединенные двумя сегментами дерева, окружающими удлиненное центральное отверстие. Через каждое из этих отверстий проходит еще одна из трех частей, связывая их вместе в структуру борромеевских колец. Триподы подобного типа описывались как изделия индийского или африканского ручного промысла. В химии молекулярные борромеевские кольца являются молекулярными аналогами борромеевских колец, представляющих собой механически сцепленные молекулярные архитектуры. В 1997 году биологу Чэндэ Мао и его коллегам из Нью-Йоркского университета удалось создать набор колец из ДНК. В 2003 году химик Фрейзер Стоддарт и его коллеги из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе (UCLA) использовали координационную химию для создания набора колец за один этап из 18 компонентов. Борромеевские кольцевые структуры применялись для описания кластеров благородных металлов, экранированных поверхностным слоем тиолатных лигандов. Библиотеку борромеевских сетей синтезировали по разработанному плану Джузеппе Реснати и его коллеги, используя самосборку, обусловленную галогенными связями. Для получения доступа к молекулярному борромеевскому кольцу, состоящему из трех неравных циклов, Джей С. Сигель и его коллеги предложили поэтапный синтез. В физике квантово-механический аналог борромеевских колец называется состоянием гало или состоянием Эфимова и состоит из трех связанных частиц, которые не образуют парные связи. Существование таких состояний было предсказано физиком Виталием Ефимовым в 1970 году и подтверждено многочисленными экспериментами, начиная с 2006 года. Это явление тесно связано с борромеевским ядром – стабильным атомным ядром, состоящим из трех групп частиц, которые были бы нестабильны попарно. Другой аналог борромеевских колец в теории квантовой информации связан с запутанностью трех кубитов в состоянии Гринбергера — Хорна — Зелингера.

A monkey's fist knot is essentially a 3 dimensional representation of the Borromean rings, albeit with three layers, in most cases. Sculptor John Robinson has made artworks with three equilateral triangles made out of sheet metal, linked to form Borromean rings and resembling a three dimensional version of the valknut. A common design for a folding wooden tripod consists of three pieces carved from a single piece of wood, with each piece consisting of two lengths of wood, the legs and upper sides of the tripod, connected by two segments of wood that surround an elongated central hole in the piece. Another of the three pieces passes through each of these holes, linking the three pieces together in the Borromean rings pattern. Tripods of this form have been described as coming from Indian or African hand crafts. In chemistry, molecular Borromean rings are the molecular counterparts of Borromean rings, which are mechanically interlocked molecular architectures. In 1997, biologist Chengde Mao and coworkers of New York University succeeded in constructing a set of rings from DNA. In 2003, chemist Fraser Stoddart and coworkers at UCLA utilised coordination chemistry to construct a set of rings in one step from 18 components. Borromean ring structures have been used to describe noble metal clusters shielded by a surface layer of thiolate ligands. A library of Borromean networks has been synthesized by design by Giuseppe Resnati and coworkers via halogen bond driven self assembly. In order to access the molecular Borromean ring consisting of three unequal cycles a step by step synthesis was proposed by Jay S. Siegel and coworkers. In physics, a quantum mechanical analog of Borromean rings is called a halo state or an Efimov state, and consists of three bound particles that are not pairwise bound. The existence of such states was predicted by physicist Vitaly Efimov, in 1970, and confirmed by multiple experiments beginning in 2006. This phenomenon is closely related to a Borromean nucleus, a stable atomic nucleus consisting of three groups of particles that would be unstable in pairs. Another analog of the Borromean rings in quantum information theory involves the entanglement of three qubits in the Greenberger–Horne–Zeilinger state.