Введение
Плоская область, ограниченная тремя полукругами.
В геометрии арбелос — это плоская область, ограниченная тремя полукругами с тремя вершинами, такими что каждый угол каждого полукруга имеет общую точку с одним из других (соединён), все они расположены на одной стороне прямой линии (базовой линии), содержащей их диаметры. Кто-то представил эту идею в виде следующего безмолвного доказательства.
Прямоугольник
Пусть D и E – точки пересечения отрезков и полукругов AB и AC соответственно. Четырехугольник ADHE является прямоугольником. Доказательство: углы BDA, BHC и AEC – прямые, так как они опираются на диаметры полукругов (по теореме Фалеса). Следовательно, четырехугольник ADHE имеет три прямых угла, а значит, является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Тангенсы
Линия DE касается полукруга BA в точке D и полукруга AC в точке E.
Доказательство: Поскольку угол BDA прямой, угол DBA равен 90° минус угол DAB. Однако угол DAH также равен 90° минус угол DAB (поскольку угол HAB прямой). Следовательно, треугольники DBA и DAH подобны. Следовательно, угол DIA равен углу DOH, где I – середина AB, а O – середина AC. Но AOH – прямая линия, поэтому углы DOH и DOA являются смежными. Следовательно, сумма углов DIA и DOA равна π. Угол IAO прямой. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 2π, поэтому в четырехугольнике IDOA угол IDO должен быть прямым. Но ADHE – прямоугольник, поэтому середина O (диагональ прямоугольника) также является серединой EH (другой диагонали прямоугольника). Поскольку I (определяется как середина AB) является центром полукруга BA, а угол IDE прямой, то DE касается полукруга BA в точке D. По аналогичному рассуждению DE касается полукруга AC в точке E. Что и требовалось доказать.
Proof: Since ∠BDA is a right angle, ∠DBA equals minus ∠DAB. However, ∠DAH also equals minus ∠DAB (since ∠HAB is a right angle). Therefore triangles DBA and DAH are similar. Therefore ∠DIA equals ∠DOH, where I is the midpoint of and O is the midpoint of But ∠AOH is a straight line, so ∠DOH and ∠DOA are supplementary angles. Therefore the sum of ∠DIA and ∠DOA is π. ∠IAO is a right angle. The sum of the angles in any quadrilateral is 2π, so in quadrilateral IDOA, ∠IDO must be a right angle. But ADHE is a rectangle, so the midpoint O of (the rectangle's diagonal) is also the midpoint of (the rectangle's other diagonal). As I (defined as the midpoint of ) is the center of semicircle BA, and angle ∠IDE is a right angle, then DE is tangent to semicircle BA at D. By analogous reasoning DE is tangent to semicircle AC at E. Q. E. D.
Круги Архимеда
Высота AH разделяет арбелос на две области, каждая из которых ограничена полукругом, отрезком прямой и дугой внешней полуокружности. Окружности, вписанные в каждую из этих областей и известные как Архимедовы окружности арбелоса, имеют одинаковый радиус.
Вариации и обобщения
Парбелос — фигура, подобная арбелосу, в которой вместо полукругов используются сегменты параболы. Обобщением, включающим как арбелос, так и парбелос, является f-белос, использующий определенный тип подобных дифференцируемых функций. В модели верхней полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости арбелос моделирует идеальный треугольник.
Этимология
Название арбелос происходит от греческого ἡ ἄρβηλος (he árbēlos) или ἄρβυλος (árbylos), что означает «нож сапожника» — нож, используемый сапожниками с античности до наших дней, лезвие которого, по преданию, напоминает данную геометрическую фигуру.