Введение
Топологическое пространство, топология которого имеет счетное базисное покрытие.
В топологии, второ́е счётное пространство, также называемое полностью разделимым пространством, — это топологическое пространство, топология которого имеет счетное базисное покрытие. Более точно, топологическое пространство является второ́е счётным, если существует некоторое счётное множество открытых подмножеств, такое что любое открытое подмножество этого пространства можно представить в виде объединения элементов некоторого подмножества этого счётного множества. Говорят, что второ́е счётное пространство удовлетворяет второ́й аксиоме счётности. Как и другие аксиомы счётности, свойство быть второ́е счётным ограничивает число открытых множеств, которые может содержать пространство. Многие "хорошо определённые" пространства в математике являются второ́е счётными. Например, евклидово пространство (Rn) с его обычной топологией является второ́е счётным. Хотя обычное базисное покрытие открытых шаров несчётно, можно ограничиться множеством всех открытых шаров с рациональными радиусами и центрами, имеющими рациональные координаты. Это ограниченное множество счётно и по-прежнему образует базисное покрытие.
Свойства
Вторая счётность — более сильное понятие, чем первая счётность. Пространство называется первым счётным, если каждая точка имеет счётное локальное базисное окружение. Для заданной базы топологии и точки x, множество всех элементов базы, содержащих x, образует локальное базисное окружение в x. Таким образом, если есть счётная база для топологии, то есть счётное локальное базисное окружение в каждой точке, и, следовательно, каждое второе счётное пространство также является первым счётным. Однако любое несчётное дискретное пространство является первым счётным, но не вторым счётным. Вторая счётность влечёт за собой определённые другие топологические свойства. В частности, каждое второе счётное пространство является сепарабельным (имеет счётное плотное подмножество) и Линделёфом (любое открытое покрытие имеет счётное подпокрытие). Обратные утверждения неверны. Например, топология нижнего предела на прямой вещественных чисел является первым счётной, сепарабельной и Линделёфа, но не второй счётной. Однако для метрических пространств свойства второй счётности, сепарабельности и Линделёфа эквивалентны. Следовательно, топология нижнего предела на прямой вещественных чисел не метризуема. Во вторых счётных пространствах — как и в метрических пространствах — компактность, последовательная компактность и счётная компактность являются эквивалентными свойствами. Теорема Урысона о метризации утверждает, что каждое второе счётное, хаусдорфово регулярное пространство является метризуемым. Отсюда следует, что каждое такое пространство также является вполне нормальным и паракомпактным. Таким образом, вторая счётность является достаточно ограничивающим свойством топологического пространства, требующим лишь аксиомы разделения для влечения метризуемости.
Другие свойства
Непрерывное, открытое отображение второго счётного пространства является вторым счётным. Каждое подпространство второго счётного пространства является вторым счётным. Факторпространства второго счётного пространства не обязательно являются вторыми счётными; однако, открытые факторпространства всегда таковыми являются. Любое счётное произведение второго счётного пространства является вторым счётным, хотя несчётные произведения не обязательно таковыми являются. Топология второго счётного пространства T1 имеет мощность не более c (мощность континуума). Любое базисное покрытие второго счётного пространства имеет счётное подпокрытие, которое также является базисным покрытием. Каждое семейство непересекающихся открытых множеств во втором счётном пространстве является счётным.
Примеры
Рассмотрим дизъюнктное счётное объединение. Определим отношение эквивалентности и фактор-топологию, отождествляя левые концы интервалов, то есть, отождествляя 0 ~ 2 ~ 4 ~ ~ 2k и так далее. Пространство X является второ-счётным, как счётное объединение второ-счётных пространств. Однако, X/~ не является перво-счётным в классе эквивалентности отождествлённых точек и, следовательно, также не является второ-счётным. Вышеуказанное пространство не гомеоморфно тому же множеству классов эквивалентности, снабжённому очевидной метрикой, то есть, обычному евклидову расстоянию для двух точек в одном интервале и сумме расстояний до левого конца интервала для точек, не лежащих в одном интервале, что даёт строго более грубую топологию, чем в вышеуказанном пространстве. Это сепарабельное метрическое пространство (рассмотрим множество рациональных точек) и, следовательно, второ-счётное. Длинная линия не второ-счётна, но перво-счётна.