Введение
В теории групп, являющейся разделом абстрактной алгебры, таблица характеров — это двумерная таблица, строки которой соответствуют неприводимым представлениям, а столбцы — классам сопряженности элементов группы. Элементы таблицы состоят из характеров, представляющих собой следы матриц, соответствующих элементам класса данного столбца в представлении группы, заданном данной строкой. В химии, кристаллографии и спектроскопии таблицы характеров точечных групп используются для классификации, например, молекулярных колебаний в соответствии с их симметрией, а также для предсказания, запрещен ли переход между двумя состояниями по соображениям симметрии. Многие университетские учебники по физической химии, квантовой химии, спектроскопии и неорганической химии посвящают отдельную главу использованию таблиц характеров групп симметрии.
Внешние автоморфизмы
Внешняя группа автоморфизмов действует на таблицу характеров, переставляя столбцы (классы сопряженности) и, соответственно, строки, что добавляет таблице дополнительную симметрию. Например, абелевы группы имеют внешний автоморфизм, который нетривиален, за исключением элементарных абелевых 2-групп, и является внешним, поскольку абелевы группы – это именно те, для которых сопряжение (внутренние автоморфизмы) действует тривиально. В примере выше это отображение отправляет и, соответственно, меняет местами и (меняя их значения и ). Обратите внимание, что этот конкретный автоморфизм (отрицательный для абелевых групп) совпадает со комплексным сопряжением. Формально, если – автоморфизм группы G, а – представление, то также является представлением. Если – внутренний автоморфизм (сопряжение некоторым элементом a), то он действует тривиально на представления, поскольку представления являются классовыми функциями (сопряжение не изменяет их значение). Таким образом, данный класс внешних автоморфизмов действует на характеры, поскольку внутренние автоморфизмы действуют тривиально, и действие группы автоморфизмов переходит к факторгруппе. Это соотношение можно использовать в обоих направлениях: зная внешний автоморфизм, можно получить новые представления (если представление принимает одинаковые значения на классах сопряженности, которые переставляются внешним автоморфизмом), и наоборот, можно ограничить возможные внешние автоморфизмы, исходя из таблицы характеров.
This relation can be used both ways: given an outer automorphism, one can produce new representations (if the representation is not equal on conjugacy classes that are interchanged by the outer automorphism), and conversely, one can restrict possible outer automorphisms based on the character table.
Определение вибрационных режимов молекулы воды с помощью таблицы символов
Чтобы определить общее число колебательных мод молекулы воды, сначала необходимо вычислить неприводимое представление Γirreducible, используя таблицу характеров молекулы воды.