Введение
Частное слабо сжимаемого пространства по свободному действию
В математике, в частности в теории гомотопий, классифицирующее пространство BG топологической группы G является частным от слабо сжимаемого пространства EG (то есть топологического пространства, все гомотопические группы которого тривиальны) по свободному собственному действию G. Оно обладает свойством, что любой главный G-расслоение над паракомпактным многообразием изоморфно оттягиванию универсального расслоения. Как будет объяснено далее, это означает, что классифицирующие пространства представляют собой функтор, принимающий значения в множествах, на гомотопической категории топологических пространств. Термин "классифицирующее пространство" также может использоваться для пространств, представляющих функтор, принимающий значения в множествах, на категории топологических пространств, таких как пространство Серпинского. Это понятие обобщается понятием классифицирующего топоса. Однако в остальной части статьи рассматривается более часто используемое понятие классифицирующего пространства с точностью до гомотопии. Для дискретной группы G, BG, грубо говоря, является связным топологическим пространством X, таким что фундаментальная группа X изоморфна G, а старшие гомотопические группы X тривиальны, то есть BG является пространством Эйленберга — Маклейна, или K(G, 1).
In mathematics, specifically in homotopy theory, a classifying space BG of a topological group G is the quotient of a weakly contractible space EG (i. e., a topological space all of whose homotopy groups are trivial) by a proper free action of G. It has the property that any G principal bundle over a paracompact manifold is isomorphic to a pullback of the principal bundle As explained later, this means that classifying spaces represent a set valued functor on the homotopy category of topological spaces. The term classifying space can also be used for spaces that represent a set valued functor on the category of topological spaces, such as Sierpiński space. This notion is generalized by the notion of classifying topos. However, the rest of this article discusses the more commonly used notion of classifying space up to homotopy. For a discrete group G, BG is, roughly speaking, a path connected topological space X such that the fundamental group of X is isomorphic to G and the higher homotopy groups of X are trivial, that is, BG is an Eilenberg–MacLane space, or a K(G, 1).
Мотивация
Примером классифицирующего пространства для бесконечной циклической группы G является круг, рассматриваемый как X. Когда G является дискретной группой, другим способом задать условие на X является то, что универсальное накрытие Y пространства X является стягиваемым. В этом случае проекционная карта становится расслоением с группой структур G, фактически главным расслоением для G. Интерес к понятию классифицирующего пространства действительно возникает из того факта, что в этом случае Y обладает универсальным свойством относительно главных расслоений G в категории гомотопии. Это, на самом деле, более фундаментальное условие, чем исчезновение высших гомотопических групп: основная идея состоит в том, чтобы, задав G, найти такое стягиваемое пространство Y, на котором G действует свободно. (Идея слабой эквивалентности в теории гомотопии связывает эти два подхода.) В случае примера с кругом, речь идет о том, что бесконечная циклическая группа C действует свободно на вещественной прямой R, которая является стягиваемой. Рассматривая X как факторпространство – круг, мы можем рассматривать проекцию π из R = Y в X как спираль в геометрическом смысле, представляющую собой проецирование из трехмерного пространства на плоскость. Утверждается, что π обладает универсальным свойством среди главных C-расслоений; то есть любое главное C-расслоение определенным образом "происходит" из π.
becomes a fiber bundle with structure group G, in fact a principal bundle for G. The interest in the classifying space concept really arises from the fact that in this case Y has a universal property with respect to principal G bundles, in the homotopy category. This is actually more basic than the condition that the higher homotopy groups vanish: the fundamental idea is, given G, to find such a contractible space Y on which G acts freely. (The weak equivalence idea of homotopy theory relates the two versions.) In the case of the circle example, what is being said is that we remark that an infinite cyclic group C acts freely on the real line R, which is contractible. Taking X as the quotient space circle, we can regard the projection π from R = Y to X as a helix in geometrical terms, undergoing projection from three dimensions to the plane. What is being claimed is that π has a universal property amongst principal C bundles; that any principal C bundle in a definite way 'comes from' π.
Приложения
Это все еще оставляет открытым вопрос об эффективных вычислениях с BG; например, теория характеристических классов по существу эквивалентна вычислению групп когомологий BG, по крайней мере, в рамках ограничений теории гомотопии, для интересных групп G, таких как группы Ли (теорема Картана). Как показала теорема о периодичности Ботта, гомотопические группы BG также представляют собой фундаментальный интерес. Примером классифицирующего пространства служит случай, когда G – циклическая группа второго порядка; тогда BG является бесконечномерным вещественным проективным пространством, что соответствует наблюдению о том, что EG можно взять за стягиваемое пространство, полученное удалением начала координат из бесконечномерного гильбертова пространства, при действии G, переводящем v в −v, и допуская гомотопическую эквивалентность при выборе BG. Этот пример демонстрирует, что классифицирующие пространства могут быть сложными. В связи с дифференциальной геометрией (теория Черна — Вейля) и теорией грассманианов, для таких случаев, как унитарные группы, представляющие наибольший интерес, возможен гораздо более практичный подход к теории. Построение комплекса Тома MG показало, что пространства BG также вовлечены в теорию кобордизмов, заняв центральное место в геометрических соображениях, вытекающих из алгебраической топологии. Поскольку групповую когомологию можно (во многих случаях) определить с использованием классифицирующих пространств, их также можно рассматривать как фундаментальные для гомологической алгебры. Обобщения включают классификацию слоений и классифицирующие топосы для логических теорий исчисления предикатов в интуиционистской логике, которые заменяют собой «пространство моделей».