Введение
Концепция в топологии
В математике изопериметрическое измерение многообразия — это понятие измерения, которое стремится отразить, насколько поведение многообразия в больших масштабах похоже на поведение евклидова пространства (в отличие от топологического измерения или размерности Хаусдорфа, которые сравнивают различные локальные свойства с евклидовым пространством). В евклидовом пространстве изопериметрическое неравенство утверждает, что среди всех тел с одинаковым объемом шар имеет наименьшую площадь поверхности. В других многообразиях обычно очень сложно найти точное тело, минимизирующее площадь поверхности, и это не является целью изопериметрического измерения. Вопрос, который мы рассмотрим, заключается в том, какова приблизительно минимальная площадь поверхности, независимо от тела, которое её реализует.
In mathematics, the isoperimetric dimension of a manifold is a notion of dimension that tries to capture how the large scale behavior of the manifold resembles that of a Euclidean space (unlike the topological dimension or the Hausdorff dimension which compare different local behaviors against those of the Euclidean space). In the Euclidean space, the isoperimetric inequality says that of all bodies with the same volume, the ball has the smallest surface area. In other manifolds it is usually very difficult to find the precise body minimizing the surface area, and this is not what the isoperimetric dimension is about. The question we will ask is, what is approximately the minimal surface area, whatever the body realizing it might be.
Примеры
У d-мерного евклидова пространства изопериметрическое измерение равно d. Это хорошо известная изопериметрическая задача — как обсуждалось выше, для евклидова пространства постоянная C известна точно, поскольку минимум достигается для шара. Бесконечный цилиндр (то есть произведение окружности и прямой) имеет топологическую размерность 2, но изопериметрическую размерность 1. Действительно, умножение любого многообразия на компактное многообразие не изменяет изопериметрическую размерность (изменяется лишь значение константы C). Любое компактное многообразие имеет изопериметрическую размерность 0. Также возможно, чтобы изопериметрическая размерность была больше топологической размерности. Простейший пример — бесконечная джунглийская конструкция, которая имеет топологическую размерность 2 и изопериметрическую размерность 3. См. для изображений и кода Mathematica. Гиперболическая плоскость имеет топологическую размерность 2 и изопериметрическую размерность бесконечность. Фактически, гиперболическая плоскость имеет положительную постоянную Чигера. Это означает, что она удовлетворяет неравенству, которое очевидно подразумевает бесконечную изопериметрическую размерность.
which obviously implies infinite isoperimetric dimension.
Графики
Изопериметрическое измерение графов можно определить аналогичным образом. Точное определение приведено в обзоре Чанга. Площадь и объем измеряются размерами множеств. Для любого подмножества A графа G определяется как множество вершин, имеющих соседа в A. Далее, d-мерное изопериметрическое неравенство определяется следующим образом (подробности можно найти в этом вопросе на MathOverflow). Аналоги графов для всех вышеприведенных примеров справедливы, но определение несколько отличается, чтобы избежать того, что изопериметрическое измерение любого конечного графа равно 0: в указанной выше формуле объем заменяется на (см. обзор Чунга, раздел 7). Изопериметрическое измерение d-мерной решетки равно d. В общем случае, изопериметрическое измерение сохраняется квазиизометриями – как между многообразиями, между графами, так и квазиизометриями, отображающими многообразия в графы, с соответствующими определениями. Говоря упрощенно, это означает, что граф, "имитирующий" данное многообразие (как решетка имитирует евклидово пространство), будет иметь такое же изопериметрическое измерение, как и само многообразие. Бесконечное полное двоичное дерево имеет изопериметрическое измерение ∞.
(This MathOverflow question provides more details.) The graph analogs of all the examples above hold but the definition is slightly different in order to avoid that the isoperimetric dimension of any finite graph is 0: In the above formula the volume of is replaced by (see Chung's survey, section 7). The isoperimetric dimension of a d dimensional grid is d. In general, the isoperimetric dimension is preserved by quasi isometries, both by quasi isometries between manifolds, between graphs, and even by quasi isometries carrying manifolds to graphs, with the respective definitions. In rough terms, this means that a graph "mimicking" a given manifold (as the grid mimics the Euclidean space) would have the same isoperimetric dimension as the manifold. An infinite complete binary tree has isoperimetric dimension ∞.