Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Сфера, касающаяся всех вершин многогранника
Sphere touching all of a polyhedron's vertices
В геометрии описанной сферой многогранника называется сфера, содержащая многогранник и касающаяся каждой из его вершин. Слово "описанная сфера" (циркумсфера) иногда используется для обозначения того же самого, по аналогии с термином "описанная окружность" (циркумцикл). Как и в случае двумерных описанных окружностей, радиус сферы, описанной вокруг многогранника P, называется радиусом описанной сферы для P, а центр этой сферы называется центром описанной сферы для P.
In geometry, a circumscribed sphere of a polyhedron is a sphere that contains the polyhedron and touches each of the polyhedron's vertices. The word circumsphere is sometimes used to mean the same thing, by analogy with the term circumcircle. As in the case of two dimensional circumscribed circles (circumcircles), the radius of a sphere circumscribed around a polyhedron P is called the circumradius of P, and the center point of this sphere is called the circumcenter of P.
Существование и оптимальность
Когда она существует, описанная сфера не обязательно должна быть наименьшей сферой, содержащей многогранник; например, тетраэдр, образованный вершиной куба и тремя её соседними вершинами, имеет ту же описанную сферу, что и сам куб, но может быть помещен внутрь меньшей сферы, имеющей три соседние вершины на своём экваторе. Однако наименьшая сфера, содержащая данный многогранник, всегда является описанной сферой для выпуклой оболочки подмножества вершин многогранника. В труде «De solidorum elementis» (около 1630 года) Рене Декарт заметил, что для многогранника с описанной сферой все грани имеют описанные окружности – окружности, по которым плоскость грани пересекает описанную сферу. Декарт предположил, что это необходимое условие существования описанной сферы является достаточным, но это неверно: некоторые бипирамиды, например, могут иметь описанные окружности для своих граней (все из которых являются треугольниками), но при этом не иметь описанной сферы для всего многогранника. Однако, если у простого многогранника для каждой его грани существует описанная окружность, то у него также существует описанная сфера.
When it exists, a circumscribed sphere need not be the smallest sphere containing the polyhedron; for instance, the tetrahedron formed by a vertex of a cube and its three neighbors has the same circumsphere as the cube itself, but can be contained within a smaller sphere having the three neighboring vertices on its equator. However, the smallest sphere containing a given polyhedron is always the circumsphere of the convex hull of a subset of the vertices of the polyhedron. In De solidorum elementis (circa 1630), René Descartes observed that, for a polyhedron with a circumscribed sphere, all faces have circumscribed circles, the circles where the plane of the face meets the circumscribed sphere. Descartes suggested that this necessary condition for the existence of a circumscribed sphere is sufficient, but it is not true: some bipyramids, for instance, can have circumscribed circles for their faces (all of which are triangles) but still have no circumscribed sphere for the whole polyhedron. However, whenever a simple polyhedron has a circumscribed circle for each of its faces, it also has a circumscribed sphere.
Связанные понятия
Описанная сфера является трехмерным аналогом описанной окружности. Все правильные многогранники имеют описанные сферы, но большинство неправильных многогранников не имеют их, поскольку, как правило, не все вершины лежат на одной сфере. Описанная сфера (когда она существует) является примером ограничивающей сферы, сферы, содержащей заданную фигуру. Возможно определить наименьшую ограничивающую сферу для любого многогранника и вычислить её за линейное время. Если описанная сфера представляет собой множество бесконечно удалённых точек гиперболического пространства, то многогранник, который она описывает, называется идеальным многогранником.
The circumscribed sphere is the three dimensional analogue of the circumscribed circle. All regular polyhedra have circumscribed spheres, but most irregular polyhedra do not have one, since in general not all vertices lie on a common sphere. The circumscribed sphere (when it exists) is an example of a bounding sphere, a sphere that contains a given shape. It is possible to define the smallest bounding sphere for any polyhedron, and compute it in linear time. When the circumscribed sphere is the set of infinite limiting points of hyperbolic space, a polyhedron that it circumscribes is known as an ideal polyhedron.