Введение

Сфера, касающаяся каждой грани многогранника

В геометрии вписанная сфера или инсфера выпуклого многогранника — это сфера, содержащаяся внутри многогранника и касающаяся каждой его грани. Это наибольшая сфера, полностью содержащаяся внутри многогранника, и она двойна к описанной сфере двойного многогранника. Радиус сферы, вписанной в многогранник P, называется внутренним радиусом многогранника P.

Интерпретации

Все правильные многогранники имеют вписанные сферы, но у большинства неправильных многогранников не все грани касаются общей сферы, хотя для таких форм все еще можно определить наибольшую содержащуюся сферу. В таких случаях понятие инсферы, по-видимому, не было четко определено, и можно встретить различные интерпретации инсферы: сфера, касающаяся всех граней (если она существует); сфера, касающаяся всех плоскостей граней (если она существует); сфера, касающаяся заданного набора граней (если она существует); наибольшая сфера, которую можно поместить внутрь многогранника. Часто эти сферы совпадают, что приводит к путанице относительно того, какие именно свойства определяют инсферу для многогранников, где они не совпадают. Например, у правильного малого звездчатого додекаэдра есть сфера, касающаяся всех граней, в то время как более крупная сфера все еще может быть помещена внутрь многогранника. Какая из них является инсферой? Ведущие специалисты, такие как Коксетер или Канди и Роллетт, достаточно четко указывают, что инсферой является сфера, касающаяся граней. Кроме того, эти же специалисты согласны с тем, что у архимедовых многогранников (имеющих правильные грани и эквивалентные вершины) нет инсфер, в то время как у дуальных архимедовых или каталонских многогранников инсферы есть. Однако многие авторы не учитывают такие различия и используют другие определения для «инсфер» своих многогранников.