Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В общей теории относительности, исчисление Редже — это формализм для построения симплексных аппроксимаций пространств-времени, являющихся решениями уравнения Эйнштейна. Этот метод был предложен итальянским теоретиком Туллио Редже в 1961 году.
In general relativity, Regge calculus is a formalism for producing simplicial approximations of spacetimes that are solutions to the Einstein field equation. The calculus was introduced by the Italian theoretician Tullio Regge in 1961.
Обзор
Отправной точкой для работы Редж является тот факт, что каждый четырехмерный ориентируемый во времени лоренцианский многообразник допускает триангуляцию в симплексы. Более того, кривизна пространства-времени может быть выражена через углы дефицита, связанные с 2-мерными гранями, в которых встречаются расположения из четырех симплексов. Эти грани играют ту же роль, что и вершины, в которых встречаются расположения треугольников при триангуляции 2-мерного многообразия, что легче представить визуально. Здесь вершина с положительным угловым дефицитом представляет собой концентрацию положительной гауссовой кривизны, в то время как вершина с отрицательным угловым дефицитом представляет собой концентрацию отрицательной гауссовой кривизны. Углы дефицита могут быть вычислены непосредственно из длин ребер триангуляции, что эквивалентно утверждению о том, что тензор кривизны Римана может быть вычислен из метрического тензора лоренцианского многообразия. Редж показал, что уравнения вакуумного поля можно переформулировать как ограничение на эти углы дефицита. Затем он показал, как это можно применить для эволюции начальной пространственно-подобной гиперповерхности в соответствии с уравнением вакуумного поля. В результате, начиная с триангуляции некоторой пространственно-подобной гиперповерхности (которая сама должна удовлетворять определенному уравнению ограничения), можно в конечном итоге получить симплициальное приближение к вакуумному решению. Это может быть применено к сложным задачам в численной теории относительности, таким как моделирование столкновения двух черных дыр. Элегантная идея, лежащая в основе исчисления Редж, послужила стимулом для построения дальнейших обобщений этой идеи. В частности, исчисление Редж было адаптировано для изучения квантовой гравитации.
The starting point for Regge's work is the fact that every four dimensional time orientable Lorentzian manifold admits a triangulation into simplices. Furthermore, the spacetime curvature can be expressed in terms of deficit angles associated with 2 faces where arrangements of 4 simplices meet. These 2 faces play the same role as the vertices where arrangements of triangles meet in a triangulation of a 2 manifold, which is easier to visualize. Here a vertex with a positive angular deficit represents a concentration of positive Gaussian curvature, whereas a vertex with a negative angular deficit represents a concentration of negative Gaussian curvature. The deficit angles can be computed directly from the various edge lengths in the triangulation, which is equivalent to saying that the Riemann curvature tensor can be computed from the metric tensor of a Lorentzian manifold. Regge showed that the vacuum field equations can be reformulated as a restriction on these deficit angles. He then showed how this can be applied to evolve an initial spacelike hyperslice according to the vacuum field equation. The result is that, starting with a triangulation of some spacelike hyperslice (which must itself satisfy a certain constraint equation), one can eventually obtain a simplicial approximation to a vacuum solution. This can be applied to difficult problems in numerical relativity such as simulating the collision of two black holes. The elegant idea behind Regge calculus has motivated the construction of further generalizations of this idea. In particular, Regge calculus has been adapted to study quantum gravity.