Введение
В микроэкономике функция расходов показывает минимальную сумму денег, которую индивиду необходимо потратить для достижения определенного уровня полезности, при заданных функциях полезности и ценах доступных товаров. Формально, если существует функция полезности, описывающая предпочтения относительно n товаров, функция расходов указывает, какая сумма денег требуется для достижения уровня полезности u, при заданных ценах, представленных ценовым вектором p. Эта функция определяется как:
says what amount of money is needed to achieve a utility if the n prices are given by the price vector This function is defined by
where
is the set of all bundles that give utility at least as good as
Expressed equivalently, the individual minimizes expenditure subject to the minimal utility constraint that giving optimal quantities to consume of the various goods as as function of and the prices; then the expenditure function is
min p⋅x | u(x) ≥ ū
says what amount of money is needed to achieve a utility if the n prices are given by the price vector This function is defined by
where
is the set of all bundles that give utility at least as good as
Expressed equivalently, the individual minimizes expenditure subject to the minimal utility constraint that giving optimal quantities to consume of the various goods as as function of and the prices; then the expenditure function is
где
says what amount of money is needed to achieve a utility if the n prices are given by the price vector This function is defined by
where
is the set of all bundles that give utility at least as good as
Expressed equivalently, the individual minimizes expenditure subject to the minimal utility constraint that giving optimal quantities to consume of the various goods as as function of and the prices; then the expenditure function is
x – множество всех наборов товаров, обеспечивающих полезность не ниже ū.
says what amount of money is needed to achieve a utility if the n prices are given by the price vector This function is defined by
where
is the set of all bundles that give utility at least as good as
Expressed equivalently, the individual minimizes expenditure subject to the minimal utility constraint that giving optimal quantities to consume of the various goods as as function of and the prices; then the expenditure function is
Эквивалентно, индивид минимизирует расходы при ограничении на минимальный уровень полезности ū, определяя оптимальные объемы потребления различных товаров x как функцию от ū и цен p; тогда функция расходов равна:
says what amount of money is needed to achieve a utility if the n prices are given by the price vector This function is defined by
where
is the set of all bundles that give utility at least as good as
Expressed equivalently, the individual minimizes expenditure subject to the minimal utility constraint that giving optimal quantities to consume of the various goods as as function of and the prices; then the expenditure function is
e(p, ū) = p⋅x*(p, ū)
says what amount of money is needed to achieve a utility if the n prices are given by the price vector This function is defined by
where
is the set of all bundles that give utility at least as good as
Expressed equivalently, the individual minimizes expenditure subject to the minimal utility constraint that giving optimal quantities to consume of the various goods as as function of and the prices; then the expenditure function is
Расходы и косвенная полезность
Функция расходов является обратной к функции косвенной полезности при фиксированных ценах. То есть, для каждого ценового вектора и уровня дохода:
Существует двойственная связь между функцией расходов и функцией полезности. Если задана конкретная регулярная квазивогнутая функция полезности, соответствующая ей цена является однородной, а полезность – монотонно возрастающая функция расходов, то, наоборот, заданная однородная цена и монотонно возрастающая функция расходов порождают регулярную квазивогнутую функцию полезности. Помимо свойства однородности цен и монотонного возрастания полезности, функция расходов обычно обладает следующими характеристиками:
(1) является неотрицательной функцией, то есть,
(2) для P она не убывает, то есть, ;
(3) E(Pu) является вогнутой функцией. То есть,
Функция расходов – важный теоретический инструмент для изучения поведения потребителей. Она очень похожа на функцию издержек в теории производства. Двойственной задачей максимизации полезности является задача минимизации издержек.