Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Система полных и ортогональных многочленов
Однородное уравнение Лежандра
System of complete and orthogonal polynomials
Legendre's Homogeneous equation
В математике, полиномы Лежандра, названные в честь Адриена Мари Лежандра (1782), представляют собой систему полных и ортогональных многочленов, обладающую огромным количеством математических свойств и многочисленными приложениями. Их можно определить различными способами, и различные определения подчеркивают разные аспекты, а также предлагают обобщения и связи с различными математическими структурами и физическими и численными приложениями. Тесно связанными с полиномами Лежандра являются ассоциированные полиномы Лежандра, функции Лежандра, функции Лежандра второго рода, полиномы Лежандра большого q и ассоциированные функции Лежандра.
In mathematics, Legendre polynomials, named after Adrien Marie Legendre (1782), are a system of complete and orthogonal polynomials with a vast number of mathematical properties and numerous applications. They can be defined in many ways, and the various definitions highlight different aspects as well as suggest generalizations and connections to different mathematical structures and physical and numerical applications. Closely related to the Legendre polynomials are associated Legendre polynomials, Legendre functions, Legendre functions of the second kind, big q Legendre polynomials, and associated Legendre functions.
Определение по конструкции как ортогональная система
В этом подходе многочлены определяются как ортогональная система относительно весовой функции на интервале. То есть, является многочленом степени , таким что
In this approach, the polynomials are defined as an orthogonal system with respect to the weight function over the interval That is, is a polynomial of degree , such that
С дополнительным условием нормировки, все многочлены могут быть однозначно определены. Затем мы приступаем к построению: является единственным правильно нормированным многочленом степени 0. должен быть ортогонален к , что приводит к , а определяется требованием ортогональности к и , и так далее. Это дает условий, которые, вместе с нормировкой, фиксируют все коэффициенты в . При определенных усилиях, все коэффициенты каждого многочлена могут быть систематически определены, что приводит к явному представлению в степенях , приведенному ниже. Это определение является самым простым. Оно не опирается на теорию дифференциальных уравнений. Во-вторых, полнота многочленов непосредственно следует из полноты степеней 1. Наконец, определяя их через ортогональность относительно наиболее очевидной весовой функции на конечном интервале, мы получаем многочлены Лежандра как одну из трех классических ортогональных систем многочленов. Две другие – это полиномы Лагерра, ортогональные на полупрямой , и полиномы Эрмита, ортогональные на всей прямой , с весовыми функциями, являющимися наиболее естественными аналитическими функциями, обеспечивающими сходимость всех интегралов.
With the additional standardization condition , all the polynomials can be uniquely determined. We then start the construction process: is the only correctly standardized polynomial of degree 0. must be orthogonal to , leading to , and is determined by demanding orthogonality to and , and so on. is fixed by demanding orthogonality to all with This gives conditions, which, along with the standardization fixes all coefficients in With work, all the coefficients of every polynomial can be systematically determined, leading to the explicit representation in powers of given below. This definition of the 's is the simplest one. It does not appeal to the theory of differential equations. Second, the completeness of the polynomials follows immediately from the completeness of the powers 1, Finally, by defining them via orthogonality with respect to the most obvious weight function on a finite interval, it sets up the Legendre polynomials as one of the three classical orthogonal polynomial systems. The other two are the Laguerre polynomials, which are orthogonal over the half line , and the Hermite polynomials, orthogonal over the full line , with weight functions that are the most natural analytic functions that ensure convergence of all integrals.
Нули
Все нули из являются вещественными, различными и лежат в интервале . Кроме того, если рассматривать их как делящие интервал на подинтервалы, то каждый подинтервал будет содержать ровно один ноль из . Это известно как свойство чередования. В силу свойства чётности очевидно, что если является нулём , то также является нулём . Эти нули играют важную роль в численном интегрировании, основанном на квадратуре Гаусса. Конкретная квадратура, основанная на , известна как квадратура Гаусса-Лежандра. Из этого свойства и фактов, что , следует, что имеет локальные минимумы и максимумы в . Эквивалентно, имеет нули в .
All zeros of are real, distinct from each other, and lie in the interval Furthermore, if we regard them as dividing the interval into subintervals, each subinterval will contain exactly one zero of This is known as the interlacing property. Because of the parity property it is evident that if is a zero of , so is These zeros play an important role in numerical integration based on Gaussian quadrature. The specific quadrature based on the 's is known as Gauss Legendre quadrature. From this property and the facts that , it follows that has local minima and maxima in Equivalently, has zeros in .