Введение

Понятие в алгебраической топологии
В алгебраической топологии, симплициальная гомология — это последовательность групп гомологии симплициального комплекса. Она формализует представление о количестве "дыр" заданной размерности в комплексе. Это обобщает количество связных компонент (случай размерности 0). Симплициальная гомология возникла как способ изучения топологических пространств, строительными блоками которых являются n-симплексы — n-мерные аналоги треугольников. К ним относятся точка (0-симплекс), отрезок прямой (1-симплекс), треугольник (2-симплекс) и тетраэдр (3-симплекс). По определению, такое пространство гомеоморфно симплициальному комплексу (точнее, геометрической реализации абстрактного симплициального комплекса). Такой гомеоморфизм называется триангуляцией данного пространства. Многие интересующие нас топологические пространства могут быть триангулированы, включая любое гладкое многообразие (Кэрнс и Уайтхед). Симплициальная гомология определяется простым алгоритмом для любого абстрактного симплициального комплекса. Примечательно, что симплициальная гомология зависит только от соответствующего топологического пространства. Как следствие, она предоставляет вычислимый способ различать различные пространства.

Ориентация

Ключевой концепцией в определении симплициальной гомологии является понятие ориентации симплекса. По определению, ориентация k-симплекса задается упорядочением вершин, записываемым как (v0, …, vk), с правилом, что два упорядочения определяют одну и ту же ориентацию тогда и только тогда, когда они отличаются четной перестановкой. Таким образом, каждый симплекс имеет ровно две ориентации, и изменение порядка двух вершин меняет ориентацию на противоположную. Например, выбор ориентации 1-симплекса эквивалентен выбору одного из двух возможных направлений, а выбор ориентации 2-симплекса эквивалентен определению того, что понимать под "против часовой стрелки".

Цепи

Пусть S – симплициальный комплекс. Симплициальная k-цепь – это конечная формальная сумма

где каждое ci – целое число, а σi – ориентированный k-симплекс. В этом определении мы устанавливаем, что каждый ориентированный симплекс равен отрицательному симплексу с противоположной ориентацией. Например,

Группа k-цепей на S обозначается Ck. Это свободная абелева группа, имеющая базис, находящийся во взаимно однозначном соответствии с множеством k-симплексов в S. Для явного определения базиса необходимо выбрать ориентацию для каждого симплекса. Один из стандартных способов сделать это – выбрать упорядочение всех вершин и присвоить каждому симплексу ориентацию, соответствующую индуцированному упорядочению его вершин.

Границы границ

Поскольку, где удалено второе лицо, в геометрических терминах это означает, что граница границы чего-либо не имеет границы. Эквивалентно, абелевы группы образуют цепной комплекс. Другое эквивалентное утверждение состоит в том, что Bk содержится в Zk. В качестве примера рассмотрим тетраэдр с вершинами, ориентированными как w, x, y, z. По определению, его граница задается выражением: xyz - wyz + wxz - wxy. Граница границы задается выражением: (yz - xz + xy) + (yz - wz + wy) + (xz - wz + wx) + (xy - wy + wx) = 0.

Упрощенные карты

Пусть S и T – симплициальные комплексы. Симплициальное отображение f из S в T – это функция из множества вершин S в множество вершин T, такая что образ каждого симплекса в S (рассматриваемого как множество вершин) является симплексом в T. Симплициальное отображение f: S → T определяет гомоморфизм групп гомологии Hk(S) → Hk(T) для каждого целого числа k. Этот гомоморфизм связан с цепным отображением из цепного комплекса S в цепной комплекс T. Явно, это цепное отображение задается на k-цепях следующим образом:

если f(v0), ..., f(vk) все различны, а в противном случае f((v0, ..., vk)) = 0. Эта конструкция делает симплициальную гомологию функтором из категории симплициальных комплексов в категорию абелевых групп. Это существенно для приложений теории, включая теорему Брауэра о неподвижной точке и топологическую инвариантность симплициальной гомологии.

Связанные гомологии

Сингулярная гомология – это смежная теория, которая лучше подходит для теоретических исследований, чем для вычислений. Сингулярная гомология определяется для всех топологических пространств и зависит только от топологии, а не от какой-либо триангуляции; при этом она совпадает с симплициальной гомологией для пространств, допускающих триангуляцию. Однако, поскольку симплициальную гомологию симплициального комплекса можно вычислять автоматически и эффективно, симплициальная гомология приобрела важное значение для практических приложений, таких как анализ изображений, медицинская визуализация и анализ данных в целом. Другой смежной теорией является клеточная гомология.

Приложения

Стандартной ситуацией во многих компьютерных приложениях является набор точек (измерения, темные пиксели в растровом изображении и т. п.), в котором требуется найти топологическую особенность. Гомология может служить качественным инструментом для поиска такой особенности, поскольку она легко вычисляется на основе комбинаторных данных, таких как симплициальный комплекс. Однако, данные необходимо сначала триангулировать, то есть заменить их приближением в виде симплициального комплекса. Вычисление устойчивой гомологии включает анализ гомологии при разных разрешениях, регистрируя классы гомологии (отверстия), которые сохраняются при изменении разрешения. Такие особенности могут использоваться для обнаружения структур молекул, опухолей на рентгеновских снимках и кластерных структур в сложных данных. В более общем смысле, симплициальная гомология играет центральную роль в топологическом анализе данных – методе в области интеллектуального анализа данных.

Реализация

Точное и эффективное вычисление симплициальной гомологии больших симплициальных комплексов можно осуществить с помощью GAP Simplicial Homology. На этом сайте доступен MATLAB-инструмент Plex (Vin de Silva, Gunnar Carlsson) для вычисления устойчивой гомологии. Автономные реализации на C++ доступны в составе программных проектов Perseus, Dionysus и PHAT. Для Python существуют библиотеки, такие как scikit tda, Persim, giotto tda и GUDHI, последняя из которых ориентирована на генерацию топологических признаков для машинного обучения. Их можно найти в репозитории PyPI.