Комбинаторная топология: от истории к алгебраическим методам
Combinatorial topology
Комбинаторная топология: история развития алгебраической топологии, от комбинаторных разложений к абстрактным группам. Вклад Эмми Нётер, Хопфа и Виеториса.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике комбинаторная топология – более раннее название алгебраической топологии, восходящее ко времени, когда топологические инварианты пространств (например, числа Бетти) рассматривались как вытекающие из комбинаторных разложений пространств, таких как разложение на симплициальные комплексы. Доказательство теоремы о симплициальном приближении придало строгость этому подходу. Смена названия отражала переход к организации топологических классов, таких как циклы по модулю границ, в абелевы группы. Эта точка зрения часто приписывается Эмми Ноэтер, и, следовательно, изменение названия может отражать её влияние. Переход связывают также с работами Хайнца Хоффа, находившегося под влиянием Ноэтер, и Леопольда Виеториса и Вальтера Майера, которые независимо друг от друга определили гомологию. Довольно точную датировку можно найти во внутренних заметках группы Бурбаки. Если в 1942 году топология все еще была комбинаторной, то к 1944 году она стала алгебраической. Это совпадает с периодом, когда гомологическая алгебра и теория категорий были введены для изучения топологических пространств и во многом заменили комбинаторные методы. Азриэль Розенфельд (1973) предложил цифровую топологию для типа обработки изображений, который можно рассматривать как новое развитие комбинаторной топологии. Цифровые версии теоремы Эйлера о характеристиках и теоремы Гаусса — Бонне были получены Ли Ченом и Юнву Роном. 2D-топология решеточных ячеек уже появилась в книге Александрова — Хоффа «Topologie I» (1935).
In mathematics, combinatorial topology was an older name for algebraic topology, dating from the time when topological invariants of spaces (for example the Betti numbers) were regarded as derived from combinatorial decompositions of spaces, such as decomposition into simplicial complexes. After the proof of the simplicial approximation theorem this approach provided rigour. The change of name reflected the move to organise topological classes such as cycles modulo boundaries explicitly into abelian groups. This point of view is often attributed to Emmy Noether, and so the change of title may reflect her influence. The transition is also attributed to the work of Heinz Hopf, who was influenced by Noether, and to Leopold Vietoris and Walther Mayer, who independently defined homology. A fairly precise date can be supplied in the internal notes of the Bourbaki group. While topology was still combinatorial in 1942, it had become algebraic by 1944. This corresponds also to the period where homological algebra and category theory were introduced for the study of topological spaces, and largely supplanted combinatorial methods. Azriel Rosenfeld (1973) proposed digital topology for a type of image processing that can be considered as a new development of combinatorial topology. The digital forms of the Euler characteristic theorem and the Gauss–Bonnet theorem were obtained by Li Chen and Yongwu Rong. A 2D grid cell topology already appeared in the Alexandrov–Hopf book Topologie I (1935).