Введение
Приблизительно, количество k-мерных дыр на топологической поверхности. В алгебраической топологии числа Бетти используются для различения топологических пространств на основе связности n-мерных симплициальных комплексов. Для наиболее разумных пространств конечной размерности (таких как компактные многообразия, конечные симплициальные комплексы или CW-комплексы) последовательность чисел Бетти становится равной 0 начиная с некоторого момента (числа Бетти обнуляются при размерностях, превышающих размерность пространства), и все они конечны. n-е число Бетти представляет собой ранг n-й гомологической группы, обозначаемой Hn, который указывает на максимальное количество разрезов, которые можно сделать, прежде чем поверхность будет разделена на две части, или на количество 0-циклов, 1-циклов и т.д. Например, если тогда , если тогда , если тогда , если тогда и т.д. Следует отметить, что рассматриваются только ранги бесконечных групп, поэтому, например, если , где – конечная циклическая группа порядка 2, то . Эти конечные компоненты гомологических групп являются их торсионными подгруппами и обозначаются коэффициентами торсии. Термин "числа Бетти" был введен Анри Пуанкаре в честь Энрико Бетти. Современная формулировка принадлежит Эмми Нётер. Числа Бетти используются сегодня в таких областях, как симплициальная гомология, информатика и цифровая обработка изображений.
In algebraic topology, the Betti numbers are used to distinguish topological spaces based on the connectivity of n dimensional simplicial complexes. For the most reasonable finite dimensional spaces (such as compact manifolds, finite simplicial complexes or CW complexes), the sequence of Betti numbers is 0 from some point onward (Betti numbers vanish above the dimension of a space), and they are all finite. The nth Betti number represents the rank of the nth homology group, denoted Hn, which tells us the maximum number of cuts that can be made before separating a surface into two pieces or 0 cycles, 1 cycles, etc. For example, if then , if then , if then , if then , etc. Note that only the ranks of infinite groups are considered, so for example if , where is the finite cyclic group of order 2, then These finite components of the homology groups are their torsion subgroups, and they are denoted by torsion coefficients. The term "Betti numbers" was coined by Henri Poincaré after Enrico Betti. The modern formulation is due to Emmy Noether. Betti numbers are used today in fields such as simplicial homology, computer science and digital images.
Формальное определение
Для неотрицательного целого числа k, k-е число Бетти bk(X) пространства X определяется как ранг (число линейно независимых образующих) абелевой группы Hk(X), k-й гомологической группы X. k-я гомологическая группа — это , где s — граничные операторы симплициального комплекса, а ранг Hk является k-м числом Бетти. Эквивалентно, его можно определить как размерность векторного пространства Hk(X; Q), поскольку в этом случае гомологическая группа является векторным пространством над Q. Теорема об универсальных коэффициентах, в очень простом случае без кручения, показывает, что эти определения совпадают. В более общем случае, для заданного поля F можно определить bk(X, F), k-е число Бетти с коэффициентами в F, как размерность векторного пространства Hk(X, F).
Полином Понкаре
Полином Пуанкаре поверхности определяется как порождающая функция её чисел Бетти. Например, числа Бетти тора равны 1, 2 и 1; таким образом, его полином Пуанкаре равен . То же самое определение применимо к любому топологическому пространству, имеющему конечно порожденную гомологию. Для топологического пространства, имеющего конечно порожденную гомологию, полином Пуанкаре определяется как порождающая функция его чисел Бетти, посредством полинома, где коэффициент при равен .
Числа Бетти графа
Рассмотрим топологический граф G, в котором множество вершин – V, множество ребер – E, а множество связных компонент – C. Как объяснено на странице о гомологии графа, его группы гомологии задаются следующим образом:
Это можно доказать непосредственно математической индукцией по количеству ребер. Новое ребро либо увеличивает число 1-циклов, либо уменьшает число связных компонент. Следовательно, "нулевое" число Бетти b0(G) равно |C|, что просто является числом связных компонент. Первое число Бетти b1(G) равно |E| + |C| – |V|. Оно также называется цикломатическим числом – термин, введенный Густавом Кирхгофом до публикации работ Бетти. См. цикломатическую сложность для применения в разработке программного обеспечения. Все остальные числа Бетти равны 0.
Числа Бетти из комплекса упрощенных
Рассмотрим симплициальный комплекс с 0-симплексами: a, b, c и d, 1-симплексами: E, F, G, H и I, и единственным 2-симплексом является J, который является заштрихованной областью на рисунке. На этом рисунке есть одна связная компонента (b0); одна дыра, представляющая собой незаштрихованную область (b1); и нет "пустот" или "полостей" (b2). Это означает, что ранг H₀ равен 1, ранг H₁ равен 1 и ранг H₂ равен 0. Последовательность чисел Бетти для этой фигуры: 1, 1, 0, 0, …; многочлен Пуанкаре: .
Различные коэффициенты
Зависимость от поля F проявляется только через его характеристику. Если гомологические группы не содержат кручения, то числа Бетти не зависят от F. Связь между p-кручением и числом Бетти при характеристике p, где p – простое число, подробно описывается универсальной теоремой о коэффициентах (основанной на функторах Tor, но в частном случае).