Введение

Алгебраический инструмент для вычисления инвариантов топологических пространств. В математике, особенно в алгебраической топологии и теории гомологии, последовательность Майера — Виториса является алгебраическим инструментом, помогающим вычислять алгебраические инварианты топологических пространств, известные как их группы гомологии и когомологии. Результат принадлежит двум австрийским математикам, Вальтеру Майеру и Леопольду Виторису. Метод заключается в разбиении пространства на подпространства, для которых группы гомологии или когомологии могут быть проще в вычислении. Последовательность связывает (ко)гомологические группы пространства с (ко)гомологическими группами подпространств. Это естественная длинная точная последовательность, элементами которой являются (ко)гомологические группы всего пространства, прямая сумма (ко)гомологических групп подпространств и (ко)гомологические группы пересечения подпространств. Последовательность Майера — Виториса применима к различным теориям когомологии и гомологии, включая симплициальную гомологию и сингулярную когомологию. В общем случае, последовательность применима к теориям, удовлетворяющим аксиомам Эйленберга — Стинрода, и имеет варианты для редуцированной и относительной (ко)гомологии. Поскольку (ко)гомологию большинства пространств нельзя вычислить непосредственно из их определений, используются такие инструменты, как последовательность Майера — Виториса, в надежде получить частичную информацию. Многие пространства, встречающиеся в топологии, построены путем соединения очень простых фрагментов. Тщательный выбор двух покрывающих подпространств таким образом, чтобы вместе с их пересечением они имели более простую (ко)гомологию, чем у всего пространства, может позволить полностью определить (ко)гомологию пространства. В этом отношении последовательность Майера — Виториса аналогична теореме Зейферта — Ван Кампена для фундаментальной группы, и существует точная связь для гомологии размерности один.

История, мотивация и история

Подобно фундаментальной группе или группам высшей гомотопии пространства, гомологические группы являются важными топологическими инвариантами. Хотя некоторые (ко)гомологические теории вычисляются с использованием инструментов линейной алгебры, многие другие важные (ко)гомологические теории, особенно сингулярные (ко)гомологии, нельзя вычислить непосредственно из их определения для нетривиальных пространств. Для сингулярной (ко)гомологии сингулярные (ко)цепи и (ко)группы циклов часто слишком велики для непосредственной обработки. Необходимы более тонкие и косвенные подходы. Последовательность Майера — Виеториса — это один из таких подходов, предоставляющий частичную информацию о (ко)гомологических группах любого пространства, связывая их с (ко)гомологическими группами двух его подпространств и их пересечением. Наиболее естественным и удобным способом выражения этой связи является алгебраическое понятие точной последовательности: последовательности объектов (в данном случае групп) и морфизмов (в данном случае гомоморфизмов групп) между ними, таких что образ одного морфизма равен ядру следующего. В общем случае, это не позволяет полностью вычислить (ко)гомологические группы пространства. Однако, поскольку многие важные пространства, встречающиеся в топологии, являются топологическими многообразиями, симплициальными комплексами или CW-комплексами, которые строятся путем соединения очень простых фрагментов, теорема, подобная теореме Майера и Виеториса, потенциально имеет широкое и глубокое применение. Майер познакомился с топологией благодаря своему коллеге Виеторису, посещая его лекции в 1926 и 1927 годах в местном университете в Вене. Ему сообщили о предполагаемом результате и способе его решения, и он решил задачу о числах Бетти в 1929 году. Он применил свои результаты к тору, рассматриваемому как объединение двух цилиндров. Вьеторис позже доказал полный результат для гомологических групп в 1930 году, но не выразил его в виде точной последовательности. Концепция точной последовательности впервые появилась в печати в книге 1952 года «Основы алгебраической топологии» Сэмюэля Эйленберга и Нормана Стинрода, где результаты Майера и Виеториса были представлены в современной форме.

Основные версии для сингулярной гомологии

Пусть X — топологическое пространство, а A и B — два подпространства, внутренности которых покрывают X. (Внутренности A и B не обязаны быть непересекающимися.) Последовательность Майера — Виеториса в сингулярной гомологии для триады (X, A, B) — это длинная точная последовательность, связывающая сингулярные гомологические группы (с коэффициентной группой целых чисел Z) пространств X, A, B и пересечения A ∩ B. Существует нередуцированная и редуцированная версии.

Карта границ

Граничные отображения ∂*, понижающие размерность, могут быть определены следующим образом. Элемент в Hn(X) является классом гомологии n-цикла x, который, например, посредством барицентрического подразделения, может быть представлен как сумма двух n-цепей u и v, изображения которых полностью лежат в A и B соответственно. Таким образом, ∂x = ∂(u + v) = ∂u + ∂v. Поскольку x является циклом, ∂x = 0, следовательно, ∂u = −∂v. Это подразумевает, что изображения обоих этих граничных (n − 1)-циклов содержатся в пересечении A∩B. Тогда ∂*([x]) можно определить как класс ∂u в Hn−1(A∩B). Выбор другой декомпозиции x = u′ + v′ не влияет на [∂u], поскольку ∂u + ∂v = ∂x = ∂u′ + ∂v′, что влечет за собой ∂u − ∂u′ = ∂(v′ − v), и, следовательно, ∂u и ∂u′ лежат в одном и том же классе гомологии; также не влияет выбор другого представителя x′, поскольку ∂x′ = ∂x = 0. Следует отметить, что отображения в последовательности Майер-Виеториса зависят от выбора порядка для A и B. В частности, граничное отображение меняет знак, если A и B поменяются местами.

Сокращенный вариант

Для редуцированной гомологии также существует последовательность Майера — Виториса, при условии, что пересечение множеств A и B не пусто. Последовательность совпадает для положительных размерностей и имеет вид:

К-сфера

Чтобы полностью вычислить гомологию k-сферы X = Sk, пусть A и B будут двумя полушариями X, пересечение которых гомотопически эквивалентно (k − 1)-мерной экваториальной сфере. Поскольку k-мерные полушария гомеоморфны k-дискам, которые стягиваемы, группы гомологии для A и B тривиальны. Последовательность Майера — Виеториса для приведённых групп гомологии тогда даёт

Из точности сразу следует, что отображение ∂* является изоморфизмом. Используя приведённую гомологию 0-сферы (двух точек) в качестве базового случая, получаем

где δ — дельта Кронекера. Такое полное понимание групп гомологии для сфер резко контрастирует с текущими знаниями о группах гомотопий сфер, особенно в случае n > k, о котором известно немного.

Бутылка Кляйна

Немного более сложным применением последовательности Майера-Виториса является вычисление групп гомологии бутылки Кляйна X. Используется разложение X как объединение двух полос Мёбиуса A и B, склеенных вдоль их граничной окружности (см. иллюстрацию справа). Тогда A, B и их пересечение A∩B гомотопно эквивалентны окружностям, поэтому нетривиальная часть последовательности дает

а тривиальная часть подразумевает, что гомологии для размерностей, больших 2, равны нулю. Центральное отображение α переводит 1 в (2, −2), поскольку граничная окружность полосы Мёбиуса дважды обвивается вокруг центральной окружности. В частности, α инъективно, поэтому гомология размерности 2 также равна нулю. Наконец, выбирая (1, 0) и (1, −1) в качестве базиса для Z2, получаем

Клин-сумма

Пусть X является клиновой суммой двух пространств K и L, и предположим, что идентифицированная базисная точка является деформационной стяжкой открытых окрестностей U ⊆ K и V ⊆ L. Полагая A = K ∪ V и B = U ∪ L, следует, что A ∪ B = X и A ∩ B = U ∪ V, которое по построению стягиваемо. Сокращенная версия последовательности тогда дает (в силу точности)

для всех размерностей n. Иллюстрация справа показывает X как сумму двух 2-сфер K и L. Для этого конкретного случая, используя результат, полученный выше для 2-сфер, имеем

Приостановление

Если X — подвеска SY пространства Y, то A и B — дополнения в X верхней и нижней «вершин» двойного конуса соответственно. Тогда X является объединением A∪B, причем A и B стягиваемые. Также пересечение A∩B гомотопически эквивалентно Y. Следовательно, последовательность Майера — Виториса дает для всех n,

Иллюстрация справа показывает 1-сферу X как подвеску 0-сферы Y. Отмечая в общем случае, что k-сфера является подвеской (k − 1)-сферы, легко вывести группы гомологий k-сферы по индукции, как описано выше.

Относительная форма

Также существует относительная форма последовательности Майера — Виториса. Если Y ⊂ X и является объединением внутренних областей C ⊂ A и D ⊂ B, то точная последовательность:

Другие теории гомологии

Вывод последовательности Майера-Виториса из аксиом Эйленберга-Стинрода не требует аксиомы размерности, поэтому, помимо существования в обычных теориях когомологий, она справедлива и для необычных теорий когомологий (таких как топологическая K-теория и кобордизм).

Кохомология снопа

С точки зрения кохомологии снопов, последовательность Майера-Виториса связана с чешской кохомологией. В частности, она возникает из вырождения спектральной последовательности, связывающей чешскую кохомологию с кохомологией снопов (иногда называемой спектральной последовательностью Майера-Виеториса), в случае, когда открытое покрытие, используемое для вычисления чешской кохомологии, состоит из двух открытых множеств. Эта спектральная последовательность существует в произвольных топосах.