Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Коэффициенты в собственных состояниях углового момента квантовых систем
Coefficients in angular momentum eigenstates of quantum systems
В физике коэффициенты Клебша — Гордана (CG) — это числа, возникающие при соединении угловых моментов в квантовой механике. Они выступают в качестве коэффициентов разложения собственных состояний полного углового момента по базису несвязанного тензорного произведения. В более математическом смысле коэффициенты CG используются в теории представлений, особенно компактных групп Ли, для выполнения явного прямого разложения тензорного произведения двух неприводимых представлений (то есть сведения приводимого представления к неприводимым представлениям, в случаях, когда числа и типы неприводимых компонент уже известны абстрактно). Название происходит от немецких математиков Альфреда Клебша и Пола Гордана, которые столкнулись с эквивалентной задачей в инвариантной теории. С точки зрения векторного анализа, коэффициенты CG, связанные с группой SO(3), можно определить просто через интегралы произведений сферических гармоник и их комплексно сопряженных. Сложение спинов в квантовомеханических терминах можно непосредственно вывести из этого подхода, поскольку сферические гармоники являются собственными функциями полного углового момента и его проекции на ось, а интегралы соответствуют внутреннему произведению в гильбертовом пространстве. Из формального определения углового момента можно получить рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша — Гордана. Существуют также сложные явные формулы для их непосредственного вычисления. В приведенных ниже формулах используется обозначение Дирака, а также принята фазовая конвенция Кондона — Шортли.
In physics, the Clebsch–Gordan (CG) coefficients are numbers that arise in angular momentum coupling in quantum mechanics. They appear as the expansion coefficients of total angular momentum eigenstates in an uncoupled tensor product basis. In more mathematical terms, the CG coefficients are used in representation theory, particularly of compact Lie groups, to perform the explicit direct sum decomposition of the tensor product of two irreducible representations (i. e., a reducible representation into irreducible representations, in cases where the numbers and types of irreducible components are already known abstractly). The name derives from the German mathematicians Alfred Clebsch and Paul Gordan, who encountered an equivalent problem in invariant theory. From a vector calculus perspective, the CG coefficients associated with the SO(3) group can be defined simply in terms of integrals of products of spherical harmonics and their complex conjugates. The addition of spins in quantum mechanical terms can be read directly from this approach as spherical harmonics are eigenfunctions of total angular momentum and projection thereof onto an axis, and the integrals correspond to the Hilbert space inner product. From the formal definition of angular momentum, recursion relations for the Clebsch–Gordan coefficients can be found. There also exist complicated explicit formulas for their direct calculation. The formulas below use Dirac's bra–ket notation and the Condon–Shortley phase convention is adopted.
Свойства симметрии
Удобный способ вывода этих соотношений — преобразование коэффициентов Клебша — Гордана в символы Вигнера 3j. Симметрийные свойства символов Вигнера 3j значительно проще.
A convenient way to derive these relations is by converting the Clebsch–Gordan coefficients to Wigner 3 j symbols using The symmetry properties of Wigner 3 j symbols are much simpler.
Отношение к символам Вигнера 3-j
Коэффициенты Клебша — Гордана связаны с символами Вигнера 3j, которые обладают более удобными соотношениями симметрии. Фактор (−1)^(2j₂) обусловлен условием Кондона — Шортли, а фактор (−1)^(J − M) — свойством обратного во времени преобразования.
Clebsch–Gordan coefficients are related to Wigner 3 j symbols which have more convenient symmetry relations. The factor (−1)^(2 j2) is due to the Condon–Shortley constraint that , while (–1)^(J − M) is due to the time reversed nature of .
Коэффициенты Клебша-Гордана для конкретных групп
Для произвольных групп и их представлений коэффициенты Клебша — Гордана, как правило, неизвестны. Однако существуют алгоритмы вычисления коэффициентов Клебша — Гордана для специальной унитарной группы SU(n). В частности, коэффициенты Клебша — Гордана для SU(3) были вычислены и табулированы благодаря их полезности при описании адронных распадов, где существует симметрия аромата SU(3), связывающая верхние, нижние и странные кварки. В свободном доступе имеется веб-интерфейс для табулирования коэффициентов Клебша — Гордана для SU(N). Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы также известны как коэффициенты Кронекера.
For arbitrary groups and their representations, Clebsch–Gordan coefficients are not known in general. However, algorithms to produce Clebsch–Gordan coefficients for the special unitary group SU(n) are known. In particular, SU(3) Clebsch Gordan coefficients have been computed and tabulated because of their utility in characterizing hadronic decays, where a flavor SU(3) symmetry exists that relates the up, down, and strange quarks. A web interface for tabulating SU(N) Clebsch–Gordan coefficients is readily available. Clebsch–Gordan coefficients for symmetric group are also known as Kronecker coefficients.