Введение
В теории чисел гипотеза Бэтмена — Хорна — это утверждение, касающееся частоты встречаемости простых чисел среди значений системы полиномов, названное в честь математиков Пола Т. Бэтмена и Роджера А. Хорна, которые выдвинули её в 1962 году. Она представляет собой широкое обобщение таких гипотез, как гипотеза Харди и Литтлвуда о плотности пар близнецов-простых чисел или их гипотеза о простых числах вида n² + 1; она также является усилением гипотезы Шинцеля H.
Примеры
Если система многочленов состоит из одного многочлена ƒ1(x) = x, то значения n, для которых ƒ1(n) является простым числом, сами являются простыми числами, и гипотеза становится переформулировкой теоремы о простых числах. Если система многочленов состоит из двух многочленов ƒ1(x) = x и ƒ2(x) = x + 2, то значения n, для которых ƒ1(n) и ƒ2(n) оба являются простыми числами, являются меньшим из двух простых чисел в каждой паре близнецов. В этом случае гипотеза Бэйтмана — Хорна сводится к гипотезе Харди — Литтлвуда о плотности близнецов, согласно которой число пар близнецов, меньших x, равно
Аналог для многочленов на конечном поле
Когда целые числа заменяются кольцом многочленов F[u] для конечного поля F, возникает вопрос о том, как часто конечный набор многочленов fi(x) в F[u][x] одновременно принимает неприводимые значения в F[u] при подстановке элементов F[u] вместо x. Хорошо известные аналогии между целыми числами и F[u] наводят на мысль об аналоге гипотезы Бэтмена — Хорна для F[u], но этот аналог неверен. Например, данные показывают, что многочлен в F3[u][x] принимает (асимптотически) ожидаемое число неприводимых значений, когда x пробегает многочлены в F3[u] нечётной степени, но, по-видимому, принимает (асимптотически) вдвое больше неприводимых значений, чем ожидалось, когда x пробегает многочлены степени, равной 2 по модулю 4, в то время как он (доказано) вообще не принимает неприводимых значений, когда x пробегает неконстантные многочлены, степень которых кратна 4. Аналог гипотезы Бэтмена — Хорна для F[u], согласующийся с численными данными, использует дополнительный фактор в асимптотике, зависящий от значения d mod 4, где d — степень многочленов в F[u], по которым производится выборка x.
in F3[u][x] takes (asymptotically) the expected number of irreducible values when x runs over polynomials in F3[u] of odd degree, but it appears to take (asymptotically) twice as many irreducible values as expected when x runs over polynomials of degree that is 2 mod 4, while it (provably) takes no irreducible values at all when x runs over nonconstant polynomials with degree that is a multiple of 4. An analogue of the Bateman–Horn conjecture over F[u] which fits numerical data uses an additional factor in the asymptotics which depends on the value of d mod 4, where d is the degree of the polynomials in F[u] over which x is sampled.