Введение

Российский математик

Григорий Александрович Маргулис (Григо́рий Алекса́ндрович Маргу́лис, имя часто указывается как Григорий, Григори или Грегори; родился 24 февраля 1946 года) — российско-американский математик, известный своими работами по решёткам в группах Ли и введением методов эргодической теории в диофантово приближение. Он был удостоен медали Филдса в 1978 году, премии Вольфа по математике в 2005 году и премии Абеля в 2020 году, став пятым математиком, получившим все три награды. В 1991 году он присоединился к преподавательскому составу Йельского университета, где в настоящее время занимает должность профессора математики имени Эрастуса Л. Де Фореста.

Биография

Маргулис родился в российской семье литовского еврейского происхождения в Москве, Советском Союзе. В возрасте 16 лет в 1962 году он завоевал серебряную медаль на Международной математической олимпиаде. Он получил степень PhD в 1970 году в Московском государственном университете, начав исследования в области эргодической теории под руководством Якова Синая. Ранняя работа совместно с Давидом Кажданом привела к теореме Каждана — Маргулиса, фундаментальному результату о дискретных группах. Его теорема о супержесткости, полученная в 1975 году, прояснила область классических гипотез о характеризации арифметических групп среди решеток в группах Ли. В 1978 году он был удостоен медали Филдса, но ему не разрешили поехать в Хельсинки для личного принятия награды, предположительно из-за антисемитизма в отношении еврейских математиков в Советском Союзе. Его положение улучшилось, и в 1979 году он посетил Бонн, а позже смог свободно путешествовать, хотя продолжал работать в Институте проблем передачи информации, исследовательском институте, а не университете. В 1991 году Маргулис принял должность профессора в Йельском университете. В 2001 году Маргулис был избран членом Национальной академии наук США. В 2012 году он стал членом Американского математического общества. В 2005 году Маргулис получил премию Вольфа за вклад в теорию решеток и её приложения к эргодической теории, теории представлений, теории чисел, комбинаторике и теории меры. В 2020 году Маргулис совместно с Хиллелем Фурстенбергом был удостоен Абелевской премии «За новаторское применение методов теории вероятностей и динамических систем в теории групп, теории чисел и комбинаторике».

Математические вклады

Ранние работы Маргулиса касались свойства Каждана (T) и вопросов жесткости и арифметичности решеток в полупростых алгебраических группах более высокого ранга над локальным полем. С 1950-х годов было известно (Борэл, Хариш-Чандра), что определенный простой способ построения подгрупп полупростых групп Ли дает примеры решеток, называемых арифметическими решетками. Это аналогично рассмотрению подгруппы SL(n, ℤ) реальной специальной линейной группы SL(n, ℝ), состоящей из матриц с целыми элементами. Маргулис доказал, что при выполнении определенных условий на G (отсутствие компактных факторов и расщепленный ранг, больший или равный двум), любая (неприводимая) решетка Γ в ней является арифметической, то есть может быть получена таким образом. Следовательно, Γ соизмерима с подгруппой G(ℤ) от G, то есть они совпадают на подгруппах конечного индекса в обеих. В отличие от общих решеток, которые определяются своими свойствами, арифметические решетки определяются конструкцией. Таким образом, эти результаты Маргулиса проложили путь к классификации решеток. Арифметичность оказалась тесно связана с другим замечательным свойством решеток, открытым Маргулисом. Сверхжесткость для решетки Γ в G в общих чертах означает, что любой гомоморфизм из Γ в группу реальных обратимых матриц n × n расширяется на всю G. Название происходит от следующего варианта:

Если G и G' — полупростые алгебраические группы над локальным полем без компактных факторов, чей расщепленный ранг не меньше двух, и Γ и Γ' — неприводимые решетки в них, то любой гомоморфизм f: Γ → Γ' между решетками совпадает на подгруппе Γ с конечным индексом с гомоморфизмом между самими алгебраическими группами. (Случай, когда f является изоморфизмом, известен как сильная жесткость.) Хотя определенные явления жесткости уже были известны, подход Маргулиса был одновременно новым, мощным и очень элегантным. Маргулис решил проблему Банаха — Рузевича, которая спрашивает, является ли мера Лебега единственной нормализованной ротационно-инвариантной конечно-аддитивной мерой на n-мерной сфере. Утвердительное решение для n ≥ 4, которое также было независимо и почти одновременно получено Деннисом Салливаном, следует из построения определенной плотной подгруппы ортогональной группы, обладающей свойством (T). Маргулис дал первую конструкцию экспандерных графов, которая впоследствии была обобщена в теории графов Рамануджана. В 1986 году Маргулис дал полное решение гипотезы Оппенгейма о квадратичных формах и диофантовом приближении. Это был вопрос, который оставался открытым в течение полувека, по которому был достигнут значительный прогресс методом круга Харди — Литтлвуда; однако для уменьшения числа переменных до точки получения наилучших возможных результатов более структурные методы из теории групп оказались решающими. Он сформулировал дальнейшую исследовательскую программу в том же направлении, которая включает гипотезу Литтлвуда.

Лекции

Предположение Оппенгейма. Лекции лауреатов Филдсовской премии, 272–327, World Sci. Ser. Математика XX века, 5, World Scientific Publishing, River Edge, NJ, 1997.
Динамические и эргодические свойства действий подгрупп на однородных пространствах с приложениями к теории чисел. Материалы Международного конгресса математиков, тома I, II (Киото, 1990), 193–215, Математическое общество Японии, Токио, 1991.

Бумаги

Явные группотеоретические построения комбинаторных схем и их применение в построении экспандеров и концентраторов. (русский) Problemy Peredachi Informatsii 24 (1988), № 1, 51–60; перевод в Problems Inform. Transmission 24 (1988), № 1, 39–46
Арифметичность неприводимых решеток в полупростых группах ранга больше 1, Invent. Math. 76 (1984), № 1, 93–120
Некоторые замечания об инвариантных средних, Monatsh. Math. 90 (1980), № 3, 233–235
Арифметичность неоднородных решеток в слабо некомпактных группах. (русский) Funkcional. Anal. i Prilozen. 9 (1975), № 1, 35–44
Арифметические свойства дискретных групп, Russian Math. Surveys 29 (1974) 107–165