Введение

Английский математик (1937–2020)

Ричард Борчердс скончался 11 апреля 2020 года в возрасте 82 лет от осложнений, вызванных COVID-19.

Ранние годы и образование

Конвей родился 26 декабря 1937 года в Ливерпуле, сын Сирила Хортона Конвея и Агнес Бойс. Он проявил интерес к математике в очень раннем возрасте. К 11 годам он уже мечтал стать математиком. После окончания старшей школы он изучал математику в колледже Гонвилл и Кая, Кембридж. Конвей получил степень бакалавра в 1959 году и под руководством Гарольда Давенпорта начал заниматься исследованиями в области теории чисел. Решив открытую проблему, предложенную Давенпортом, касающуюся представления чисел в виде суммы пятых степеней, Конвей увлекся бесконечными ординалами. После ухода из Кембриджа в 1986 году он занял должность профессора математики имени Джона фон Неймана в Принстонском университете.

Конвей и Мартин Гарднер

Карьера Конвея была тесно связана с Мартином Гарднером. Когда Гарднер представил «Игру жизни» Конвея в своей колонке «Математические игры» в октябре 1970 года, она стала самой читаемой из всех его колонок и мгновенно сделала Конвея знаменитым. Например, он обсуждал игру Конвея Sprouts (июль 1967 года), Hackenbush (январь 1972 года) и его задачу об ангеле и дьяволе (февраль 1974 года). В сентябрьской колонке 1976 года он рассмотрел книгу Конвея «О числах и играх» и даже сумел объяснить сюрреальные числа Конвея. Конвей был заметным членом математической сети Мартина Гарднера. Он регулярно навещал Гарднера и часто писал ему длинные письма с кратким изложением своих исследований в области развлекательной математики. Во время визита в 1976 году Гарднер задержал его на неделю, вытягивая информацию о плитках Пенроуза, которые только что были объявлены. Конвей открыл многие (если не большинство) основных свойств этих плиток. Гарднер использовал эти результаты, когда познакомил мир с плитками Пенроуза в своей колонке в январе 1977 года. Обложка этого выпуска журнала Scientific American демонстрирует плитки Пенроуза, основанные на эскизе Конвея. У него было трое внуков и двое правнуков. 11 апреля он скончался в Нью-Брансуике, штат Нью-Джерси, в возрасте 82 лет.

Математика для развлечений

Конвей изобрел Игру Жизни, один из первых примеров клеточного автомата. Его первые эксперименты в этой области проводились ручкой и бумагой, задолго до появления персональных компьютеров. С тех пор, как игра Конвея была популяризирована Мартином Гарднером в журнале Scientific American в 1970 году, она породила сотни компьютерных программ, веб-сайтов и статей. Она является неотъемлемой частью рекреационной математики. Существует обширная вики, посвященная сбору и каталогизации различных аспектов игры. С первых же дней она пользовалась популярностью в компьютерных лабораториях, как благодаря своему теоретическому интересу, так и как практическое упражнение в программировании и визуализации данных. Конвею не нравилось, что обсуждения о нем в основном сосредотачивались на его Игре Жизни, поскольку он считал, что это затмевает более глубокие и важные работы, которые он выполнил, хотя он и оставался гордым своим вкладом в нее. Игра способствовала появлению нового направления в математике – области клеточных автоматов. Известно, что Игра Жизни является Тьюринг-полной.

Комбинаторная теория игр

Конвей внес вклад в теорию комбинаторных игр (CGT), теорию партизанских игр. Он разработал эту теорию совместно с Элвином Берлекампом и Ричардом Гаем, а также был соавтором книги "Пути к победе в математических играх" вместе с ними. Он также написал книгу "О числах и играх" (ONAG), в которой изложены математические основы CGT. Он также был одним из изобретателей игры "Ростки", а также философского футбола. Он разработал детальный анализ множества других игр и головоломок, таких как кубик Сома, пасьянс "Солитер" и солдаты Конвея. Он сформулировал "проблему об ангеле", которая была решена в 2006 году. Он изобрел новую систему чисел – сюрреальные числа, тесно связанные с определенными играми и ставшие предметом математической повести Дональда Кнута. Он также разработал номенклатуру для обозначения исключительно больших чисел – нотацию Конвея с цепочкой стрелок. Большая часть этого обсуждается в 0-й части книги ONAG.

Геометрия

В середине 1960-х годов, совместно с Майклом Гаем, Конвей установил, что существует шестьдесят четыре выпуклых однородных полихоров, исключая два бесконечных семейства призматических форм. В ходе этого исследования они открыли великую антипризму – единственный не витоффианский однородный полихорон. Конвей также предложил систему нотации для описания многогранников, известную как нотация полиэдров Конвея. В теории тесселяций он разработал критерий Конвея, позволяющий быстро определять множество протоплиток, способных замостить плоскость. Он исследовал решетки в пространствах более высоких размерностей и впервые определил группу симметрии решетки Лича.

Геометрическая топология

В теории узлов Конвей сформулировал новую вариацию полинома Александра и создал новый инвариант, ныне известный как полином Конвея. После более чем десятилетнего затишья эта концепция стала центральной в исследованиях 1980-х годов, посвященных новым полиномам узлов. Конвей также развил теорию кос и изобрел систему обозначений для перечисления узлов, известную как обозначение Конвея, одновременно исправив ряд ошибок в узловых таблицах XIX века и расширив их, включив в них все, кроме четырех нечередующихся простых узлов с 11 пересечениями. Узел Конвея назван в его честь. Гипотеза Конвея о том, что в любом трекле число ребер не превышает числа вершин, до сих пор не доказана.

Теория групп

Он был основным автором "Атласа конечных групп", содержащего свойства многих конечных простых групп. Работая вместе со своими коллегами Робертом Кертисом и Саймоном П. Нортоном, он построил первые конкретные представления некоторых спорадических групп. В частности, он открыл три спорадические группы, основанные на симметрии решетки Лича, которые получили название групп Конвея. Эта работа сделала его ключевой фигурой в успешной классификации конечных простых групп. Исходя из наблюдения математика Джона Маккея 1978 года, Конвей и Нортон сформулировали комплекс гипотез, известных как "монструозный лунный свет". Это направление, получившее название от Конвея, связывает группу монстров с эллиптическими модулярными функциями, объединяя тем самым две ранее различные области математики – конечные группы и теорию комплексных функций. Теория "монструозного лунного света" впоследствии обнаружила также глубокую связь с теорией струн. Конвей ввел группоид Матье, являющийся расширением группы Матье M12 до 13 точек.

Теория чисел

Будучи аспирантом, он доказал частный случай гипотезы Эдварда Уоринга, утверждающей, что любое целое число можно представить в виде суммы 37 чисел, возведённых в пятую степень, хотя Чэнь Цзиньрун решил эту проблему независимо до публикации работы Конвея. В 1972 году Конвей доказал, что естественное обобщение проблемы Коллатца является алгоритмически неразрешимой задачей. В связи с этим он разработал эзотерический язык программирования FRACTRAN. Во время лекции о гипотезе Коллатца Теренс Тао (который был его аспирантом) упомянул результат Конвея и отметил, что он "всегда умел находить крайне необычные связи в математике".

Алгебра

Конвей написал учебник по теории автоматов Стивена Клине и опубликовал оригинальные работы по алгебраическим структурам, уделяя особое внимание кватернионам и октавам. Вместе с Нилом Слоуном он изобрел икозианы.

Анализ

Он изобрёл функцию с основанием 13 в качестве контрпримера к обратной теореме о промежуточных значениях: функция принимает все действительные значения на каждом интервале действительной прямой, таким образом, она обладает свойством Дарбу, но не является непрерывной.

Алгоритмика

Для вычисления дня недели он изобрел алгоритм "Судного дня". Алгоритм достаточно прост, чтобы любой, обладающий базовыми арифметическими навыками, мог выполнять вычисления в уме. Конвей обычно мог назвать правильный ответ менее чем за две секунды. Чтобы увеличить свою скорость, он тренировал свои календарные вычисления на компьютере, который был запрограммирован на проверку его знаний случайными датами при каждом входе в систему. Одна из его ранних книг была посвящена конечным автоматам.

Теоретическая физика

В 2004 году Конвей и Саймон Б. Кохен, еще один математик из Принстона, доказали теорему о свободной воле – версию принципа "отсутствия скрытых переменных" квантовой механики. Она утверждает, что при определенных условиях, если экспериментатор может свободно выбирать, какие величины измерять в конкретном эксперименте, то элементарные частицы должны обладать свободой выбора своего спина, чтобы результаты измерений соответствовали физическим законам. Конвей заявил: "если у экспериментаторов есть свобода воли, то и у элементарных частиц она тоже есть".

Награды и почести

Конвей получил премию Бервика (1971), был избран членом Королевского общества (1981), стал членом Американской академии искусств и наук в 1992 году, был первым лауреатом премии По́лья (LMS) (1987), а в 2014 году – премию от Университета Александру Иоанна Кузы. Его номинация FRS в 1981 году гласит: «Разносторонний математик, сочетающий в себе глубокое комбинаторное понимание с алгебраическим мастерством, особенно в построении и манипулировании «необычными» алгебраическими структурами, проливающими свет на широкий спектр задач совершенно неожиданным образом. Он внес значительный вклад в теорию конечных групп, теорию узлов, математическую логику (как теорию множеств, так и теорию автоматов) и теорию игр (а также в практическое применение этой теории). Конференции под названием Gathering 4 Gardner проводятся каждые два года в ознаменование наследия Мартина Гарднера, и сам Конвей часто был ключевым докладчиком на этих мероприятиях, обсуждая различные аспекты развлекательной математики.»

Избранные публикации

1971 – Регулярная алгебра и конечные автоматы. Чапман и Холл, Лондон, 1971, Серия: Серия по математике издательства Чапмана и Холла, 1976 – О числах и играх. Academic Press, Нью-Йорк, 1976, Серия: Монографии L. M. S., 6, 1979 – О распределении значений углов, определяемых сопланарными точками (с Полом Эрдосом, Майклом Гаем и Х. Т. Крофтом). Журнал Лондонского математического общества, т. II, серия 19, стр. 137–143. 1979 – Monstrous Moonshine (с Саймоном П. Нортоном). Бюллетень Лондонского математического общества, т. 11, выпуск 2, с. 308–339. 1982 – Выигрышные стратегии в математических играх (с Ричардом К. Гаем и Элвином Берлекампом). Academic Press, 1985 – Атлас конечных групп (с Робертом Тернером Кертисом, Саймоном Филлипсом Нортоном, Ричардом А. Паркером и Робертом Арнотом Уилсоном). Clarendon Press, Нью-Йорк, Oxford University Press, 1985, 1988 – Упаковки сфер, решетки и группы (с Нилом Слоаном). Springer Verlag, Нью-Йорк, Серия: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 290, 1995 – Минимальные энергетические кластеры жестких сфер (с Нилом Слоаном, Р. Х. Хардином и Томом Даффом). Дискретная и вычислительная геометрия, т. 14, № 3, с. 237–259. 1996 – Книга чисел (с Ричардом К. Гаем). Copernicus, Нью-Йорк, 1996, 1997 – Чувственная (квадратичная) форма (с Фрэнсисом Йеном Чей Фунгом). Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия, 1997, Серия: Математические монографии Каруса, № 26, 2002 – О кватернионах и октонионах (с Дереком А. Смитом). A. K. Peters, Натик, Массачусетс, 2002, 2008 – Симметрии вещей (с Хайди Бургиель и Хаймом Гудманом Штраусом). A. K. Peters, Уэлсли, Массачусетс, 2008.