Луи де Бранж: Математик и его гипотезы

Введение

Французско-американский математик Луи де Бранж де Бурсия (родился 21 августа 1932 года) — французско-американский математик. Он был заслуженным профессором математики имени Эдварда К. Эллиота в Университете Пердью в Вест-Лафайетте, штат Индиана, и вышел на пенсию в 2023 году. Наиболее известен доказательством давней гипотезы Бибербаха в 1984 году, ныне известной как теорема де Бранжа. Он утверждает, что доказал несколько важных гипотез в математике, включая обобщённую гипотезу Римана. Родился в семье американских родителей, проживавших в Париже, де Бранж переехал в США в 1941 году вместе с матерью и сёстрами. Его родной язык — французский. Он получил степень бакалавра в Массачусетском технологическом институте (1949–1953) и докторскую степень по математике в Корнелльском университете (1953–1957). Его научными руководителями были Вольфганг Фукс и его будущий коллега в Пердью Гарри Поллард. Он провёл два года (1959–1960) в Институте перспективных исследований и ещё два (1961–1962) — в Институте математических наук Нью-Йоркского университета имени Куранта. В 1962 году он был принят на работу в Пердью. Как аналитик, де Бранж внес вклад в развитие реального, функционального, комплексного, гармонического (фурье) и диофантового анализа. В плане конкретных методов и подходов он является экспертом в области спектральной и операторной теорий.

Работы

Доказательство гипотезы Бибербаха, предложенное де Бранжем, первоначально не было принято математическим сообществом. Слухи об этом доказательстве начали распространяться в марте 1984 года, но многие математики отнеслись к ним скептически, поскольку де Бранж ранее объявлял о некоторых ошибочных (или неточных) результатах, включая заявленное доказательство гипотезы об инвариантном подпространстве в 1964 году (к слову, в декабре 2008 года он опубликовал новое заявленное доказательство этой гипотезы на своем веб-сайте). Для подтверждения доказательства де Бранжа потребовалась проверка группы математиков из Института математики им. Стеклова в Ленинграде, процесс, который занял несколько месяцев и впоследствии привел к значительному упрощению основного хода рассуждений. В оригинальном доказательстве используются гипергеометрические функции и новые инструменты из теории гильбертовых пространств целых функций, в значительной степени разработанные де Бранжем. Фактически, корректность гипотезы Бибербаха была не единственным важным следствием доказательства де Бранжа, которое охватывает более общую задачу – гипотезу Милина.

Спорные заявления о решении нерешенных проблем

В июне 2004 года де Бранж заявил, что у него есть доказательство гипотезы Римана, часто называемой величайшей нерешенной проблемой в математике, и опубликовал 124-страничное доказательство на своем веб-сайте. Этот первоначальный препринт претерпел ряд редакций, пока в декабре 2007 года он не был заменен гораздо более амбициозным утверждением, которое он разрабатывал в течение года в форме параллельной рукописи. С тех пор он опубликовал развивающиеся версии двух предполагаемых обобщений, следуя независимым, но взаимодополняющим подходам к своему первоначальному аргументу. В самом коротком из них (43 страницы по состоянию на 2009 год), который он назвал «Апология доказательства гипотезы Римана» (используя слово «апология» в редком значении апологетики), он утверждает, что использует свои инструменты из теории гильбертовых пространств целых функций для доказательства гипотезы Римана для L-функций Дирихле (тем самым доказывая обобщенную гипотезу Римана) и аналогичное утверждение для дзета-функции Эйлера, и даже заявляет о возможности доказать, что нули простые. В другом варианте (57 страниц) он утверждает, что модифицирует свой предыдущий подход к этой проблеме с помощью спектральной теории и гармонического анализа, чтобы получить доказательство гипотезы Римана для L-функций Хеке, класса, еще более общего, чем L-функции Дирихле (что, если его утверждение будет доказано верным, привело бы к еще более мощному результату). По состоянию на январь 2016 года его статья под названием «Доказательство гипотезы Римана» насчитывает 74 страницы, но не содержит окончательного доказательства. В Интернете доступен комментарий к его попытке. Математики остаются скептичными, и ни одно из этих доказательств не подверглось серьезному анализу. Основное возражение против его подхода исходит из статьи 1998 года (опубликованной два года спустя), написанной Брайаном Конри и Сянь Цзинь Ли, одного из бывших докторантов де Бранжа и открывателя критерия Ли, важного эквивалентного утверждения гипотезы Римана. В центральный аргумент также внес вклад Питер Сарнак. В статье, которая, в отличие от заявленного доказательства де Бранжа, прошла рецензирование и была опубликована в научном журнале, приводятся численные контрпримеры и нечисловые контраргументы к некоторым условиям положительности, касающимся гильбертовых пространств, которые, согласно предыдущим демонстрациям де Бранжа, подразумевают истинность гипотезы Римана. В частности, авторы доказали, что положительность, требуемая от аналитической функции F(z), которую де Бранж использовал бы для построения своего доказательства, также вынудит ее удовлетворять определенным неравенствам, которые, по их мнению, не удовлетворяют функции, действительно релевантные для доказательства. Поскольку их статья предшествует нынешнему предполагаемому доказательству на пять лет и ссылается на работы, опубликованные в рецензируемых журналах де Бранжем в период с 1986 по 1994 год, остается неясным, удалось ли де Бранжу обойти их возражения. Он не цитирует их статью в своих препринтах, но оба они цитируют его статью 1986 года, подвергшуюся критике со стороны Ли и Конри. Журналист Карл Саббах, который в 2003 году написал книгу о гипотезе Римана, посвященную де Бранжу, процитировал Конри, который в 2005 году заявил, что по-прежнему считает подход де Бранжа недостаточным для решения гипотезы, хотя и признал, что это красивая теория во многих других отношениях. Он не дал никаких указаний на то, что он действительно прочитал тогдашнюю версию предполагаемого доказательства (см. ссылку 1). В техническом комментарии 2003 года Конри заявил, что не верит, что гипотеза Римана уступит инструментам функционального анализа. Де Бранж, кстати, также утверждает, что его новое доказательство представляет собой упрощение аргументов, представленных в удаленной статье о классической гипотезе Римана, и настаивает на том, что теоретики чисел не столкнутся с трудностями при его проверке. Ли и Конри не утверждают, что математика де Бранжа неверна, а лишь то, что выводы, которые он сделал из нее в своих оригинальных работах, ошибочны, и что его инструменты, следовательно, неадекватны для решения рассматриваемых проблем. Ли опубликовал предполагаемое доказательство гипотезы Римана в arXiv в июле 2008 года. Оно было отозвано через несколько дней после того, как несколько ведущих математиков выявили критическую ошибку, что продемонстрировало интерес, которого, по-видимому, не удостоились предполагаемые доказательства его бывшего научного руководителя. Тем временем «апология» превратилась в своего рода дневник, в котором он также обсуждает исторический контекст гипотезы Римана и то, как его личная история переплетается с доказательствами. Он подписывает свои статьи и препринты как «Louis de Branges» и всегда цитируется таким образом. Однако он проявляет интерес к своим предкам де Бурсия и обсуждает происхождение обеих семей в «Апологии». Разработанные им конкретные аналитические инструменты, хотя и успешно применялись для решения гипотезы Бибербаха, были освоены лишь несколькими другими математиками (многие из которых учились у де Бранжа). Это создает еще одну трудность для проверки его текущей работы, которая в значительной степени самодостаточна: большинство исследовательских работ, на которые де Бранж ссылается в своем предполагаемом доказательстве гипотезы Римана, были написаны им самим в течение сорока лет. На протяжении большей части своей карьеры он публиковал статьи в качестве единственного автора. Гипотеза Римана — одна из самых глубоких проблем во всей математике. Это одна из шести нерешенных задач тысячелетия, за решение которых назначены призы. Простой поиск в arXiv выдает несколько заявлений о доказательствах, некоторые из которых принадлежат математикам, работающим в академических учреждениях, которые остаются непроверенными и обычно отвергаются научным сообществом. Некоторые из них даже ссылаются на препринты де Бранжа в своих ссылках, что означает, что его работа не осталась полностью незамеченной. Это показывает, что кажущаяся отчужденность де Бранжа — не единичный случай, но, вероятно, он самый известный профессионал, имеющий текущее непроверенное утверждение. Из работы де Бранжа возникли два именованных понятия. Целая функция, удовлетворяющая определенному неравенству, называется функцией де Бранжа. Для данной функции де Бранжа множество всех целых функций, удовлетворяющих определенному отношению к этой функции, называется пространством де Бранжа. Он также опубликовал на своем сайте еще один препринт, в котором утверждает, что решил проблему измерения, предложенную Стефаном Банахом.

In June 2004, de Branges announced he had a proof of the Riemann hypothesis, often called the greatest unsolved problem in mathematics, and published the 124 page proof on his website. That original preprint suffered a number of revisions until it was replaced in December 2007 by a much more ambitious claim, which he had been developing for one year in the form of a parallel manuscript. Since that time, he has released evolving versions of two purported generalizations, following independent but complementary approaches, of his original argument. In the shortest of them (43 pages as of 2009), which he titles "Apology for the Proof of the Riemann Hypothesis" (using the word "apology" in the rarely used sense of apologia), he claims to use his tools from the theory of Hilbert spaces of entire functions to prove the Riemann hypothesis for Dirichlet L functions (thus proving the generalized Riemann hypothesis) and a similar statement for the Euler zeta function, and even to be able to assert that zeros are simple. In the other one (57 pages), he claims to modify his earlier approach on the subject by means of spectral theory and harmonic analysis to obtain a proof of the Riemann hypothesis for Hecke L functions, a group even more general than Dirichlet L functions (which would imply an even more powerful result if his claim was shown to be correct). as of January 2016, his paper entitled "A proof of the Riemann Hypothesis" is 74 pages long, but does not conclude with a proof. A commentary on his attempt is available on the Internet. Mathematicians remain skeptical, and neither proof has been subjected to a serious analysis. The main objection to his approach comes from a 1998 paper (published two years later) authored by Brian Conrey and Xian Jin Li, one of de Branges' former Ph. D. students and discoverer of Li's criterion, a notable equivalent statement of the Riemann hypothesis. Peter Sarnak also gave contributions to the central argument. The paper which, contrarily to de Branges' claimed proof, was peer reviewed and published in a scientific journal gives numerical counterexamples and non numerical counterclaims to some positivity conditions concerning Hilbert spaces which would, according to previous demonstrations by de Branges, imply the correctness of the Riemann hypothesis. Specifically, the authors proved that the positivity required of an analytic function F(z) which de Branges would use to construct his proof would also force it to assume certain inequalities that, according to them, the functions actually relevant to a proof do not satisfy. As their paper predates the current purported proof by five years, and refers to work published in peer reviewed journals by de Branges between 1986 and 1994, it remains to be seen whether de Branges has managed to circumvent their objections. He does not cite their paper in his preprints, but both of them cite a 1986 paper of his that was attacked by Li and Conrey. Journalist Karl Sabbagh, who in 2003 had written a book on the Riemann Hypothesis centered on de Branges, quoted Conrey as saying in 2005 that he still believed de Branges' approach was inadequate to tackling the conjecture, even though he acknowledged that it is a beautiful theory in many other ways. He gave no indication he had actually read the then current version of the purported proof (see reference 1). In a 2003 technical comment, Conrey states he does not believe the Riemann hypothesis is going to yield to functional analysis tools. De Branges, incidentally, also claims that his new proof represents a simplification of the arguments present in the removed paper on the classical Riemann hypothesis, and insists that number theorists will have no trouble checking it. Li and Conrey do not assert that de Branges' mathematics are wrong, only that the conclusions he drew from them in his original papers are, and that his tools are therefore inadequate to address the problems in question. Li released a purported proof of the Riemann hypothesis in the arXiv in July 2008. It was retracted a few days later, after several mainstream mathematicians exposed a crucial flaw, in a display of interest that his former advisor's claimed proofs have apparently not enjoyed so far. Meanwhile, the apology has become a diary of sorts, in which he also discusses the historical context of the Riemann hypothesis, and how his personal story is intertwined with the proofs. He signs his papers and preprints as "Louis de Branges", and is always cited this way. However, he does seem interested in his de Bourcia ancestors, and discusses the origins of both families in the Apology. The particular analysis tools he has developed, although largely successful in tackling the Bieberbach conjecture, have been mastered by only a handful of other mathematicians (many of whom have studied under de Branges). This poses another difficulty to verification of his current work, which is largely self contained: most research papers de Branges chose to cite in his purported proof of the Riemann hypothesis were written by himself over a period of forty years. During most of his working life, he published articles as the sole author. The Riemann hypothesis is one of the deepest problems in all of mathematics. It is one of the six unsolved Millennium Prize Problems. A simple search in the arXiv yields several claims of proofs, some of them by mathematicians working at academic institutions, that remain unverified and are usually dismissed by mainstream scholars. A few of those have even cited de Branges' preprints in their references, which means that his work has not gone completely unnoticed. This shows that de Branges' apparent estrangement is not an isolated case, but he is probably the most renowned professional to have a current unverified claim. Two named concepts arose out of de Branges' work. An entire function satisfying a particular inequality is called a de Branges function. Given a de Branges function, the set of all entire functions satisfying a particular relationship to that function, is called a de Branges space. He has released another preprint on his site that claims to solve a measure problem due to Stefan Banach.

Награды и почести

В 1989 году он стал первым лауреатом премии Островского, а в 1994 году был удостоен премии Лероя П. Стила за основополагающий вклад в исследования. В 2012 году он стал членом-корреспондентом Американского математического общества.