Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Приближение функции касательной прямой в точке
Approximation of a function by its tangent line at a point
В математике линейное приближение — это приближение произвольной функции с помощью линейной функции (точнее, аффинной функции). Оно широко используется в методе конечных разностей для получения методов первого порядка решения или приближенного нахождения решений уравнений.
In mathematics, a linear approximation is an approximation of a general function using a linear function (more precisely, an affine function). They are widely used in the method of finite differences to produce first order methods for solving or approximating solutions to equations.
Оптическая
Гауссова оптика — это метод геометрической оптики, описывающий поведение световых лучей в оптических системах, использующий параксиальное приближение, в котором рассматриваются только лучи, образующие малые углы с оптической осью системы. В этом приближении тригонометрические функции могут быть выражены как линейные функции этих углов. Гауссова оптика применима к системам, в которых все оптические поверхности либо плоские, либо являются частями сферы. В этом случае можно получить простые явные формулы для параметров системы формирования изображения, таких как фокусное расстояние, увеличение и яркость, выраженные через геометрические формы и материальные свойства составляющих элементов.
Gaussian optics is a technique in geometrical optics that describes the behaviour of light rays in optical systems by using the paraxial approximation, in which only rays which make small angles with the optical axis of the system are considered. In this approximation, trigonometric functions can be expressed as linear functions of the angles. Gaussian optics applies to systems in which all the optical surfaces are either flat or are portions of a sphere. In this case, simple explicit formulae can be given for parameters of an imaging system such as focal distance, magnification and brightness, in terms of the geometrical shapes and material properties of the constituent elements.
Период колебания
Период колебания простого гравитационного маятника зависит от его длины, местной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла отклонения маятника от вертикали, θ0, называемого амплитудой. Он не зависит от массы груза. Истинный период T простого маятника, время, необходимое для совершения одного полного цикла идеального простого гравитационного маятника, может быть выражен несколькими различными способами (см. статью «Маятник»), одним из которых является бесконечный ряд:
The period of swing of a simple gravity pendulum depends on its length, the local strength of gravity, and to a small extent on the maximum angle that the pendulum swings away from vertical, θ0, called the amplitude. It is independent of the mass of the bob. The true period T of a simple pendulum, the time taken for a complete cycle of an ideal simple gravity pendulum, can be written in several different forms (see pendulum), one example being the infinite series:
где L – длина маятника, а g – местное ускорение свободного падения. Однако, если использовать линейное приближение (то есть, если амплитуда ограничена малыми углами), то период будет равен:
where L is the length of the pendulum and g is the local acceleration of gravity. However, if one takes the linear approximation (i. e. if the amplitude is limited to small swings, ) the period is:
В линейном приближении период колебания приблизительно одинаков для колебаний различной амплитуды: то есть период не зависит от амплитуды. Это свойство, называемое изохронизмом, объясняет, почему маятники так полезны для измерения времени. Последующие колебания маятника, даже при изменении амплитуды, занимают одинаковое время.
In the linear approximation, the period of swing is approximately the same for different size swings: that is, the period is independent of amplitude. This property, called isochronism, is the reason pendulums are so useful for timekeeping. Successive swings of the pendulum, even if changing in amplitude, take the same amount of time.
Электрическое сопротивление
Электрическое сопротивление большинства материалов изменяется с температурой. Если температура T не изменяется слишком сильно, обычно используется линейное приближение:
The electrical resistivity of most materials changes with temperature. If the temperature T does not vary too much, a linear approximation is typically used:
где α называется температурным коэффициентом сопротивления, T₀ – фиксированная опорная температура (обычно комнатная температура), а ρ – сопротивление при температуре T. Параметр α является эмпирическим параметром, подбираемым по данным измерений. Поскольку линейное приближение является лишь приближением, α имеет разные значения для разных опорных температур. Поэтому обычно указывают температуру, при которой α был измерен, с помощью индекса, например, αT₀, и данная зависимость справедлива только в диапазоне температур вблизи опорной точки. Когда температура изменяется в широком диапазоне, линейное приближение становится неадекватным, и требуется более детальный анализ и понимание.
where is called the temperature coefficient of resistivity, is a fixed reference temperature (usually room temperature), and is the resistivity at temperature The parameter is an empirical parameter fitted from measurement data. Because the linear approximation is only an approximation, is different for different reference temperatures. For this reason it is usual to specify the temperature that was measured at with a suffix, such as , and the relationship only holds in a range of temperatures around the reference. When the temperature varies over a large temperature range, the linear approximation is inadequate and a more detailed analysis and understanding should be used.