Введение

Математический инвариант узла или зацепления. В математической области теории узлов, полином Джонса — это полином узла, открытый Вон Джонсом в 1984 году. В частности, это инвариант ориентированного узла или зацепления, который сопоставляет каждому ориентированному узлу или зацеплению полином Лорана относительно переменной с целыми коэффициентами.

Полином Джонса для запутанных чисел

Эта конструкция многочлена Джонса для запутанностей является простым обобщением скобки Кауфмана для зацеплений. Конструкция была разработана Владимиром Тураевым и опубликована в 1990 году. Пусть *n* – неотрицательное целое число, а 𝒯(*n*) обозначает множество всех изотопных типов диаграмм запутанностей с *n* концами, не имеющих точек пересечения и замкнутых компонент (сглаживаний). Конструкция Тураева использует предыдущую конструкцию для скобки Кауфмана и сопоставляет каждому ориентированному запутанному элементу с *n* концами элемент свободного ℤ[q, q⁻¹]-модуля, где ℤ[q, q⁻¹] – кольцо полиномов Лорана с целочисленными коэффициентами относительно переменной *q*.

Определение по представлению плетен

Первоначальная формулировка полинома Джонса возникла в ходе его изучения операторных алгебр. В подходе Джонса полином являлся результатом своеобразного "следа" конкретного представления косы в алгебре, которая изначально появилась при исследовании определенных моделей, например, модели Поттса, в статистической механике. Пусть задано зацепление L. Теорема Александра утверждает, что оно является следовым замыканием косы, скажем, с n нитями. Теперь определим представление группы кос с n нитями, Bn, в алгебру Темперли-Либа с коэффициентами в и . Стандартный генератор косы отображается в , где – стандартные генераторы алгебры Темперли-Либа. Легко проверить, что это определяет представление. Возьмем слово косы, полученное ранее из , и вычислим , где – след Маркова. Это дает , где – полином скобок. Это можно увидеть, рассматривая, как это делал Луи Кауфман, алгебру Темперли-Либа как конкретную алгебру диаграмм. Преимущество этого подхода заключается в том, что можно выбирать аналогичные представления в другие алгебры, такие как R-матричные представления, что приводит к "обобщенным инвариантам Джонса".

Связь с теорией Черна-Саймонса

Как впервые показал Эдвард Виттен, многочлен Джонса заданного узла можно получить, рассматривая теорию Черна — Саймонса на трёхмерной сфере с калибровочной группой SU(2) и вычисляя вакуумное ожидание петли Уилсона, ассоциированной с меридианом узла, и фундаментальное представление этой группы.

Связь с квантовыми инвариантами узла

Подставляя вместо переменной многочлена Джонса и раскладывая его в ряд по h, каждый из коэффициентов оказывается инвариантом Васильева узла. Для унификации инвариантов Васильева (или инвариантов конечного типа) Максим Концевич построил интеграл Концевича. Значение интеграла Концевича, представляющее собой бесконечную сумму диаграмм аккордов, оцениваемых значениями 1 и 3, называемых диаграммами аккордов Якоби, воспроизводит многочлен Джонса вместе с системой весов, исследованной Дрором Бар-Натаном.

Связь с гипотезой объема

Путем численных исследований некоторых гиперболических узлов Ринат Кашаев обнаружил, что подстановка n-го корня из единицы в параметр раскрашенного многочлена Джонса, соответствующего n-мерному представлению, и взятие предела при стремлении n к бесконечности дает гиперболический объем дополнения узла. (См. объёмную гипотезу.)

Связь с ховановой гомологией

В 2000 году Михаил Хованов построил определенный цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомология, индуцированная этим комплексом, является инвариантом узла (см. гомология Хованова). Полином Джонса описывается как характеристика Эйлера для этой гомологии.

Обнаружение развязки

Это открытый вопрос, существует ли нетривиальный узел, многочлен Джонса которого равен многочлену Джонса тривиального узла. Известно, что существуют нетривиальные сцепления, многочлен Джонса которых равен многочлену Джонса соответствующего размыкания, что было показано Морвеном Тистлтвейтом. Кронхаймер и Мровка показали, что не существует нетривиального узла, чья ховановская гомология равна ховановской гомологии тривиального узла.