Введение
Система математической теории множеств
Теория множеств Крипке — Платека (KP), произносится как /k//r//ɪ//p//k//i// /'/p//l//ɑː//t//ɛ//k/, — это аксиоматическая теория множеств, разработанная Солом Крипке и Ричардом Платеком. Эту теорию можно рассматривать как приблизительно предикативную часть ZFC, и она значительно слабее ZFC.
Пустой набор
Если постулируется существование какого-либо множества, например, в аксиоме бесконечности, то аксиома о пустом множестве избыточна, поскольку она эквивалентна подмножеству. Более того, существование элемента во вселенной рассуждений, то есть ∃x(x=x), подразумевается в некоторых формулировках логики первого порядка, и в этом случае аксиома о пустом множестве вытекает из аксиомы Δ0-разделения и, следовательно, также избыточна.
Сравнение с теорией множеств Зермело-Фрэнкеля
Как отмечалось выше, перечисленные системы слабее ZFC, поскольку они исключают аксиому множества степеней, аксиому выбора и иногда аксиому бесконечности. Кроме того, аксиомы выделения и сбора в этих системах слабее соответствующих аксиом в ZFC, так как формулы φ, используемые в них, ограничены только кванторами, связанными переменными. Аксиома индукции в контексте KP сильнее обычной аксиомы регулярности, которая эквивалентна применению индукции к дополнению множества (классу всех множеств, не принадлежащих данному множеству).
Сопутствующие определения
Множество называется допустимым, если оно транзитивно и является моделью теории множеств Крипке–Платека. Порядковое число называется допустимым порядковым числом, если множество, соответствующее этому числу, является допустимым множеством. Множество называется приемлемым, если это стандартная модель теории множеств КП без аксиомы Δ0-коллекции.
Допустимые наборы
Порядковое число α является допустимым порядковым числом тогда и только тогда, когда α является предельным порядковым числом и не существует γ < α, для которой существует Σ1(Lα)-отображение из γ на α. Если M является стандартной моделью KP, то множество порядковых чисел в M является допустимым порядковым числом.
Металогические
Сила консистенции KPω задается ординалом Бахмана — Говарда. КП не доказывает некоторые общепринятые теоремы теории множеств, такие как лемма коллапса Мостовского.