Теорема Тихонова о произведении компактных пространств

Введение

Продукт любого семейства компактных топологических пространств является компактным. Другие теоремы, названные в честь Тихонова.

В математике теорема Тихонова утверждает, что произведение любого семейства компактных топологических пространств является компактным относительно топологии произведения. Теорема названа в честь Андрея Николаевича Тихонова (чьё имя на латинице иногда транскрибируется как Tychonoff), который впервые доказал её в 1930 году для степеней замкнутого единичного интервала, а в 1935 году сформулировал полную теорему, отметив, что её доказательство аналогично доказательству частного случая. Самое раннее известное опубликованное доказательство содержится в статье Тихонова 1935 года. Теорема Тихонова часто считается одним из важнейших результатов в общей топологии (наряду с леммой Урысона). Теорема также справедлива для топологических пространств, основанных на нечётких множествах.

Топологические определения

Теорема в решающей степени зависит от точных определений компактности и топологии произведения; фактически, в статье Тихонова 1935 года топология произведения определяется впервые. И наоборот, часть её значимости заключается в том, чтобы убедиться, что именно эти определения являются наиболее полезными (то есть, наиболее корректными). Действительно, определение компактности Хайне — Бореля, согласно которому любое покрытие пространства открытыми множествами допускает конечное подпокрытие, является относительно недавним. В XIX и начале XX веков более популярным был критерий Болцано — Вейерштрасса, согласно которому любая ограниченная бесконечная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, теперь называемую последовательной компактностью. Эти условия эквивалентны для метризуемых пространств, но ни одно из них не подразумевает другое в классе всех топологических пространств. Почти тривиально доказать, что произведение двух последовательно компактных пространств последовательно компактно — достаточно перейти к подпоследовательности для первой компоненты, а затем к под-подпоследовательности для второй компоненты. Несколько более сложный аргумент, основанный на "диагонализации", устанавливает последовательную компактность счетного произведения последовательно компактных пространств. Однако произведение континуума копий замкнутого единичного интервала (с его обычной топологией) не является последовательно компактным относительно топологии произведения, хотя оно компактно по теореме Тихонова (например, см.). Это существенный недостаток: если X — полностью регулярное пространство Хаусдорфа, существует естественное вложение из X в [0,1]C(X,[0,1]), где C(X,[0,1]) — множество непрерывных отображений из X в [0,1]. Компактность [0,1]C(X,[0,1]) таким образом показывает, что каждое полностью регулярное пространство Хаусдорфа может быть вложено в компактное пространство Хаусдорфа (или, иными словами, "компактифицировано"). Эта конструкция называется компактификацией Стоуна — Чеха. И наоборот, все подпространства компактных пространств Хаусдорфа являются полностью регулярными пространствами Хаусдорфа, что характеризует полностью регулярные пространства Хаусдорфа как те, которые могут быть компактифицированы. Такие пространства теперь называются пространствами Тихонова.

The theorem depends crucially upon the precise definitions of compactness and of the product topology; in fact, Tychonoff's 1935 paper defines the product topology for the first time. Conversely, part of its importance is to give confidence that these particular definitions are the most useful (i. e. most well behaved) ones. Indeed, the Heine–Borel definition of compactness—that every covering of a space by open sets admits a finite subcovering—is relatively recent. More popular in the 19th and early 20th centuries was the Bolzano Weierstrass criterion that every bounded infinite sequence admits a convergent subsequence, now called sequential compactness. These conditions are equivalent for metrizable spaces, but neither one implies the other in the class of all topological spaces. It is almost trivial to prove that the product of two sequentially compact spaces is sequentially compact—one passes to a subsequence for the first component and then a subsubsequence for the second component. An only slightly more elaborate "diagonalization" argument establishes the sequential compactness of a countable product of sequentially compact spaces. However, the product of continuum many copies of the closed unit interval (with its usual topology) fails to be sequentially compact with respect to the product topology, even though it is compact by Tychonoff's theorem (e. g., see ). This is a critical failure: if X is a completely regular Hausdorff space, there is a natural embedding from X into [0,1]C(X,[0,1]), where C(X,[0,1]) is the set of continuous maps from X to [0,1]. The compactness of [0,1]C(X,[0,1]) thus shows that every completely regular Hausdorff space embeds in a compact Hausdorff space (or, can be "compactified".) This construction is the Stone–Čech compactification. Conversely, all subspaces of compact Hausdorff spaces are completely regular Hausdorff, so this characterizes the completely regular Hausdorff spaces as those that can be compactified. Such spaces are now called Tychonoff spaces.

Приложения

Теорема Тихонова использовалась для доказательства многих других математических теорем. К ним относятся теоремы о компактности определенных пространств, такие как теорема Банаха — Алаоглу о слабой * -компактности единичного шара двойственного пространства нормированного векторного пространства и теорема Арцела — Асколи, характеризующая последовательности функций, в которых любая подпоследовательность имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность. Также к ним относятся утверждения, не столь очевидно связанные с компактностью, например теорема Де Брюйна — Эрдоша, утверждающая, что любой минимальный k-хроматический граф конечен, и теорема Кертиса — Хедлунда — Линдона, дающая топологическую характеристику клеточных автоматов. В общем случае, любая конструкция, принимающая на вход достаточно общий объект (часто алгебраической или топологической алгебраической природы) и выдающая компактное пространство, скорее всего, использует теорему Тихонова: например, пространство Гельфанда максимальных идеалов коммутативной C*-алгебры, пространство Стоуна максимальных идеалов булевой алгебры и спектр Берковича коммутативного банахова кольца.

Доказательства теоремы Тихонова

1) В доказательстве Тихонова 1930 года использовалось понятие полной точки накопления. 2) Теорема является прямым следствием теоремы Александра. Более современные доказательства были мотивированы следующими соображениями: подход к компактности через сходимость подпоследовательностей приводит к простому и наглядному доказательству в случае счетных множеств индексов. Однако подход к сходимости в топологическом пространстве посредством последовательностей достаточен, когда пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности (как это делают метризуемые пространства), но в общем случае это не так. При этом произведение несчетного числа метризуемых пространств, каждое из которых содержит хотя бы две точки, не является первым счетным. Поэтому естественно надеяться, что подходящее понятие сходимости в произвольных пространствах приведет к критерию компактности, обобщающему последовательную компактность в метризуемых пространствах, который будет столь же легко применим для установления компактности произведений. Это оказалось верным. 3) Теория сходимости через фильтры, разработанная Анри Картаном и развитая Бурбаки в 1937 году, приводит к следующему критерию: при условии справедливости леммы об ультрафильтрах, пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр в пространстве сходится. При этом доказательство становится простым: образ (фильтра, порожденного) ультрафильтра на пространстве произведения под любым проекционным отображением является ультрафильтром на фактор-пространстве, который, следовательно, сходится хотя бы к одному ξ. Затем показывается, что исходный ультрафильтр сходится к x = (ξ). В своем учебнике Мункрес представляет собой переработку доказательства Картана — Бурбаки, которая явно не использует никакой фильтровой терминологии или предварительных сведений. 4) Аналогично, теория сходимости через сети Мура — Смита, дополненная понятием универсальной сети Келли, приводит к критерию, согласно которому пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая универсальная сеть в пространстве сходится. Этот критерий приводит к доказательству (Келли, 1950) теоремы Тихонова, которое слово в слово идентично доказательству Картана/Бурбаки с использованием фильтров, за исключением многократной замены "универсальной сети" на "базу ультрафильтра". 5) Доказательство с использованием сетей, но не универсальных сетей, было предложено в 1992 году Полом Черноффом.

1) Tychonoff's 1930 proof used the concept of a complete accumulation point. 2) The theorem is a quick corollary of the Alexander subbase theorem. More modern proofs have been motivated by the following considerations: the approach to compactness via convergence of subsequences leads to a simple and transparent proof in the case of countable index sets. However, the approach to convergence in a topological space using sequences is sufficient when the space satisfies the first axiom of countability (as metrizable spaces do), but generally not otherwise. However, the product of uncountably many metrizable spaces, each with at least two points, fails to be first countable. So it is natural to hope that a suitable notion of convergence in arbitrary spaces will lead to a compactness criterion generalizing sequential compactness in metrizable spaces that will be as easily applied to deduce the compactness of products. This has turned out to be the case. 3) The theory of convergence via filters, due to Henri Cartan and developed by Bourbaki in 1937, leads to the following criterion: assuming the ultrafilter lemma, a space is compact if and only if each ultrafilter on the space converges. With this in hand, the proof becomes easy: the (filter generated by the) image of an ultrafilter on the product space under any projection map is an ultrafilter on the factor space, which therefore converges, to at least one xi. One then shows that the original ultrafilter converges to x = (xi). In his textbook, Munkres gives a reworking of the Cartan–Bourbaki proof that does not explicitly use any filter theoretic language or preliminaries. 4) Similarly, the Moore–Smith theory of convergence via nets, as supplemented by Kelley's notion of a universal net, leads to the criterion that a space is compact if and only if each universal net on the space converges. This criterion leads to a proof (Kelley, 1950) of Tychonoff's theorem, which is, word for word, identical to the Cartan/Bourbaki proof using filters, save for the repeated substitution of "universal net" for "ultrafilter base". 5) A proof using nets but not universal nets was given in 1992 by Paul Chernoff.

Теорема Тихонова и аксиомы выбора

Все вышеперечисленные доказательства используют аксиому выбора (АК) в той или иной форме. Например, третье доказательство использует тот факт, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре (то есть в максимальном фильтре), что следует из леммы Зорна. Лемма Зорна также используется для доказательства теоремы Келли о том, что любая сеть имеет универсальную подсеть. Фактически, эти применения АК существенны: в 1950 году Келли доказал, что теорема Тихонова влечет за собой аксиому выбора в системе ZF. Следует отметить, что одна из формулировок АК заключается в том, что декартово произведение семейства непустых множеств непусто; однако, поскольку пустое множество, безусловно, компактно, доказательство не может идти столь прямолинейным путем. Таким образом, теорема Тихонова присоединяется к ряду других фундаментальных теорем (например, к теореме о том, что каждое векторное пространство имеет базис) в своей эквивалентности АК. С другой стороны, утверждение о том, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре, не влечет за собой АК. Действительно, легко увидеть, что оно эквивалентно теореме о булевых простых идеалах (BPI) – хорошо известной промежуточной точке между аксиомами теории множеств Цермело — Френкеля (ZF) и теорией ZF, дополненной аксиомой выбора (ZFC). Беглый взгляд на второе доказательство Тихонова может навести на мысль, что в нем используется не более (BPI), что противоречит вышесказанному. Однако пространства, в которых каждый сходящийся фильтр имеет единственный предел, являются именно пространствами Хаусдорфа. В общем случае необходимо выбирать для каждого элемента индексного множества элемент непустого множества пределов спроецированной базы ультрафильтра, и, конечно, это требует использования АК. Однако это также показывает, что компактность произведения компактных пространств Хаусдорфа может быть доказана с использованием (BPI), и, более того, верно и обратное. Исследование силы теоремы Тихонова для различных ограниченных классов пространств является активной областью исследований в топологии множеств. Аналог теоремы Тихонова в бесточечной топологии не требует никакой формы аксиомы выбора.