Преобразование Боголюбова в физике: от сверхтекучести до квантовой оптики.
Bogoliubov transformation
Преобразование Боголюбова: математический метод в квантовой оптике, общей теории относительности и физике. Диагонализация гамильтонианов, эффекты Хокинга и Унруха.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая операция в квантовой оптике, общей теории относительности и других областях физики.
Mathematical operation in quantum optics, general relativity and other areas of physics
В теоретической физике преобразование Боголюбова, также известное как преобразование Боголюбова — Валатина, было независимо разработано в 1958 году Николаем Боголюбовым и Джоном Джорджем Валатином для нахождения решений теории БКШ в однородной системе. Преобразование Боголюбова является изоморфизмом либо канонической алгебры коммутационных соотношений, либо канонической алгебры антикоммутационных соотношений. Это индуцирует автоэквивалентность соответствующих представлений. Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов, что позволяет получить стационарные решения соответствующего уравнения Шрёдингера. Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унруха, излучения Хокинга, излучения Дэвиса — Фуллинга (модель движущегося зеркала), эффектов спаривания в ядерной физике и многих других областей. Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов, с соответствующим преобразованием волновой функции. Собственные значения оператора, вычисленные с использованием диагонализованного гамильтониана для преобразованной волновой функции, таким образом, остаются неизменными.
In theoretical physics, the Bogoliubov transformation, also known as the Bogoliubov–Valatin transformation, was independently developed in 1958 by Nikolay Bogolyubov and John George Valatin for finding solutions of BCS theory in a homogeneous system. The Bogoliubov transformation is an isomorphism of either the canonical commutation relation algebra or canonical anticommutation relation algebra. This induces an autoequivalence on the respective representations. The Bogoliubov transformation is often used to diagonalize Hamiltonians, which yields the stationary solutions of the corresponding Schrödinger equation. The Bogoliubov transformation is also important for understanding the Unruh effect, Hawking radiation, Davies Fulling radiation (moving mirror model), pairing effects in nuclear physics, and many other topics. The Bogoliubov transformation is often used to diagonalize Hamiltonians, with a corresponding transformation of the state function. Operator eigenvalues calculated with the diagonalized Hamiltonian on the transformed state function thus are the same as before.
Приложения
Наиболее известное применение связано с самим Николаем Боголюбовым в контексте сверхтекучести. Другие применения включают гамильтонианы и возбуждения в теории антиферромагнетизма. При вычислении квантовой теории поля в искривлённом пространстве-времени определение вакуума меняется, и возможно преобразование Боголюбова между этими различными вакуумами. Это используется при выводе излучения Хокинга. Преобразования Боголюбова также широко применяются в квантовой оптике, особенно при работе с гауссовыми унитарными операторами (такими как разделители пучка, фазовые сдвигатели и операции сжатия).
The most prominent application is by Nikolai Bogoliubov himself in the context of superfluidity. Other applications comprise Hamiltonians and excitations in the theory of antiferromagnetism. When calculating quantum field theory in curved spacetimes the definition of the vacuum changes, and a Bogoliubov transformation between these different vacua is possible. This is used in the derivation of Hawking radiation. Bogoliubov transforms are also used extensively in quantum optics, particularly when working with gaussian unitaries (such as beamsplitters, phase shifters, and squeezing operations).
Приложения
Наиболее заметное применение снова продемонстрировал сам Николай Боголюбов, на этот раз для теории сверхпроводимости БКШ. Момент, когда становится очевидной необходимость выполнения преобразования Боголюбова, заключается в том, что в приближении среднего поля гамильтониан системы в обоих случаях можно записать как сумму билинейных членов, выраженных через исходные операторы рождения и уничтожения, включающих конечные слагаемые, то есть необходимо выйти за рамки стандартного метода Хартри — Фока. В частности, в формализме Боголюбова — де Женеса с гамильтонианом в среднем поле и членом сверхпроводящего спаривания, таким как , операторы, преобразованные по Боголюбову, уничтожают и создают квазичастицы (каждая с чётко определённой энергией, импульсом и спином, но находящиеся в квантовой суперпозиции электронного и дырочного состояний), а их коэффициенты и задаются собственными векторами матрицы Боголюбова — де Женеса. Этот метод применим и в ядерной физике, поскольку он позволяет описывать "энергию спаривания" нуклонов в тяжелых элементах.
The most prominent application is again by Nikolai Bogoliubov himself, this time for the BCS theory of superconductivity. The point where the necessity to perform a Bogoliubov transform becomes obvious is that in mean field approximation the Hamiltonian of the system can be written in both cases as a sum of bilinear terms in the original creation and destruction operators, involving finite terms, i. e. one must go beyond the usual Hartree–Fock method. In particular, in the mean field Bogoliubov–de Gennes Hamiltonian formalism with a superconducting pairing term such as , the Bogoliubov transformed operators annihilate and create quasiparticles (each with well defined energy, momentum and spin but in a quantum superposition of electron and hole state), and have coefficients and given by eigenvectors of the Bogoliubov–de Gennes matrix. Also in nuclear physics, this method is applicable, since it may describe the "pairing energy" of nucleons in a heavy element.