Пред-интуиционизм в математике: взгляды Пуанкаре, Бореля и Лебега.
Pre-intuitionism
Преинтуиционизм в математике: философия Пуанкаре, Бореля и Лебега. Альтернатива формализму, акцент на интуитивном понимании чисел и непротиворечивости.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В философии математики преинтуиционисты представляли собой небольшую, но влиятельную группу, неформально разделявшую схожие взгляды на природу математики. Сам термин был введен Л. Э. Брауэром, который в своих лекциях 1951 года в Кембридже описал различия между интуиционизмом и его предшественниками:
In the philosophy of mathematics, the pre intuitionists were a small but influential group who informally shared similar philosophies on the nature of mathematics. The term itself was used by L. E. J. Brouwer, who in his 1951 lectures at Cambridge described the differences between intuitionism and its predecessors:
"От совершенно иного направления [по сравнению со "Старой формалистической школой" Дедекинда, Кантора, Пьяно, Зермело и Кутура и др.] была школа преинтуиционистов, главным образом возглавляемая Пуанкаре, Борелем и Лебегом. Эти мыслители, по-видимому, придерживались модифицированной эмпирической точки зрения при введении натуральных чисел и принципа полной индукции [ ]. Для них, даже в отношении теорем, выведенных с помощью классической логики, они постулировали существование и точность, независимые от языка и логики, и считали их непротиворечивость установленной, даже без логического доказательства. Однако, по-видимому, они не стремились найти происхождение континуума, полностью независимое от языка и логики.
Of a totally different orientation [from the "Old Formalist School" of Dedekind, Cantor, Peano, Zermelo, and Couturat, etc.] was the Pre Intuitionist School, mainly led by Poincaré, Borel and Lebesgue. These thinkers seem to have maintained a modified observational standpoint for the introduction of natural numbers, for the principle of complete induction [ ] For these, even for such theorems as were deduced by means of classical logic, they postulated an existence and exactness independent of language and logic and regarded its non contradictority as certain, even without logical proof. For the continuum, however, they seem not to have sought an origin strictly extraneous to language and logic.
Введение натуральных чисел
Прединтуиционисты, как определял Л. Э. Брауэр, отличались от формалистской точки зрения в нескольких аспектах, особенно в отношении введения натуральных чисел, или способов их определения и обозначения. Для Пуанкаре определение математической сущности заключается в самом процессе её построения, а не в выражении какой-либо лежащей в основе сущности или существования. Иными словами, ни один математический объект не существует вне человеческого конструирования, как в сознании, так и в языке.
The pre intuitionists, as defined by L. E. J. Brouwer, differed from the formalist standpoint in several ways, particularly in regard to the introduction of natural numbers, or how the natural numbers are defined/denoted. For Poincaré, the definition of a mathematical entity is the construction of the entity itself and not an expression of an underlying essence or existence. This is to say that no mathematical object exists without human construction of it, both in mind and language.
Аргументы по поводу исключенного среднего
Именно за это утверждение, среди прочего, Понкаре считался близким к интуиционистам. Однако, по мнению Брауэра, предшественники интуиционистов не дошли до той степени, которая требовалась для полного освобождения математики от метафизики, поскольку они по-прежнему использовали principium tertii exclusi ("закон исключённого третьего"). Принцип исключённого третьего действительно приводит к некоторым парадоксальным ситуациям. Например, утверждения о будущем, такие как "Завтра состоится морское сражение", пока нельзя считать ни истинными, ни ложными. Таким образом, возникает вопрос, должны ли утверждения в определенных ситуациях быть обязательно истинными или ложными. Для интуициониста это приравнивает закон исключённого третьего к столь же проблематичному понятию, как и порочный круг Пеано. Но для предшественников интуиционистов это смешение несравнимых вещей. Для них математика была одним – запутанным изобретением человеческого разума, то есть синтетическим, а логика – другим, аналитическим.
It was for this assertion, among others, that Poincaré was considered to be similar to the intuitionists. For Brouwer though, the Pre Intuitionists failed to go as far as necessary in divesting mathematics from metaphysics, for they still used principium tertii exclusi (the "law of excluded middle"). The principle of the excluded middle does lead to some strange situations. For instance, statements about the future such as "There will be a naval battle tomorrow" do not seem to be either true or false, yet. So there is some question whether statements must be either true or false in some situations. To an intuitionist this seems to rank the law of excluded middle as just as unrigorous as Peano's vicious circle. Yet to the Pre Intuitionists this is mixing apples and oranges. For them mathematics was one thing (a muddled invention of the human mind, i. e., synthetic), and logic was another (analytic).
Другие преинтуиционисты
Приведенные выше примеры включают лишь работы Пуанкаре, однако Брауэр называл преинтуиционистами и других математиков: Бореля и Лебега. Другие математики, такие как Герман Вейль (который впоследствии разочаровался в интуиционизме, полагая, что он предъявляет излишне строгие требования к математическому прогрессу) и Леопольд Кронекер, также внесли свой вклад, хотя Брауэр и не упоминает их в своей программной речи. Фактически, Кронекер, возможно, наиболее известен среди преинтуиционистов благодаря своей уникальной и часто цитируемой фразе: «Бог создал натуральные числа; всё остальное – творение человека». Кронекер придерживался почти противоположной точки зрения по сравнению с Пуанкаре, веря в натуральные числа, но отрицая закон исключённого третьего. Он был первым математиком, который выразил сомнение в неконструктивных доказательствах существования, утверждающих, что что-то должно существовать, поскольку доказано, что его отсутствие «невозможно».
The above examples only include the works of Poincaré, and yet Brouwer named other mathematicians as Pre Intuitionists too; Borel and Lebesgue. Other mathematicians such as Hermann Weyl (who eventually became disenchanted with intuitionism, feeling that it places excessive strictures on mathematical progress) and Leopold Kronecker also played a role—though they are not cited by Brouwer in his definitive speech. In fact Kronecker might be the most famous of the Pre Intuitionists for his singular and oft quoted phrase, "God made the natural numbers; all else is the work of man." Kronecker goes in almost the opposite direction from Poincaré, believing in the natural numbers but not the law of the excluded middle. He was the first mathematician to express doubt on non constructive existence proofs that state that something must exist because it can be shown that it is "impossible" for it not to.