Введение
Аксиома, определяющая требования к пучку на топологическом пространстве. В математике аксиома склеивания вводится для определения того, что пучок на топологическом пространстве должен удовлетворять, учитывая, что это предпучок, который по определению является контравариантным функтором в категорию, которую изначально принимают за категорию множеств. Здесь частичный порядок задается открытыми множествами, упорядоченными по картам включения; и рассматривается как категория стандартным образом, с единственным морфизмом, если является подмножеством , и никаким другим. Как указано в статье о пучках, существует определенная аксиома, которую должен удовлетворять, для любого открытого покрытия открытого множества . Например, заданных открытых множеств и с объединением и пересечением , требуемое условие заключается в том, что является подмножеством с равным образом в . В менее формальном изложении, сечение над одинаково хорошо задается парой сечений: на и соответственно, которые "согласуются" в том смысле, что и имеют общий образ в под соответствующими отображениями ограничения и . Первое серьезное препятствие в теории пучков состоит в том, чтобы увидеть, что эта аксиома склеивания или "сшивания" является корректной абстракцией от обычной идеи в геометрических ситуациях. Например, векторное поле является сечением тангенциального расслоения на гладком многообразии; это означает, что векторное поле на объединении двух открытых множеств – это (и только это) векторные поля на двух множествах, которые согласуются там, где они перекрываются. Принимая во внимание это базовое понимание, в теории возникают и другие вопросы, некоторые из которых будут рассмотрены здесь. Другое направление – топология Гротендика, а еще одно – логический статус "локального существования" (см. семантику Крипке–Жояля).
In mathematics, the gluing axiom is introduced to define what a sheaf on a topological space must satisfy, given that it is a presheaf, which is by definition a contravariant functor
to a category which initially one takes to be the category of sets. Here is the partial order of open sets of ordered by inclusion maps; and considered as a category in the standard way, with a unique morphism
if is a subset of , and none otherwise. As phrased in the sheaf article, there is a certain axiom that must satisfy, for any open cover of an open set of For example, given open sets and with union and intersection , the required condition is that
is the subset of With equal image in
In less formal language, a section of over is equally well given by a pair of sections : on and respectively, which 'agree' in the sense that and have a common image in under the respective restriction maps
and
The first major hurdle in sheaf theory is to see that this gluing or patching axiom is a correct abstraction from the usual idea in geometric situations. For example, a vector field is a section of a tangent bundle on a smooth manifold; this says that a vector field on the union of two open sets is (no more and no less than) vector fields on the two sets that agree where they overlap. Given this basic understanding, there are further issues in the theory, and some will be addressed here. A different direction is that of the Grothendieck topology, and yet another is the logical status of 'local existence' (see Kripke–Joyal semantics).
Сборки с открытыми косяками
В некоторых категориях можно построить пучок, задав только некоторые его сечения. В частности, пусть X – топологическое пространство с базой B. Мы можем определить категорию O′(X) как полную подкатегорию, объектами которой являются A B-пучки на X со значениями в . A B-пучок – это контрвариантный функтор, удовлетворяющий аксиоме склеивания для множеств в X. То есть, на выборе открытых множеств U, он задает все сечения пучка, а на других открытых множествах он не определен. B-пучки эквивалентны пучкам (то есть, категория пучков эквивалентна категории B-пучков). Очевидно, пучок на X можно ограничить до B-пучка. В обратном направлении, задан B-пучок F, мы должны определить сечения F на других объектах X. Для этого заметим, что для каждого открытого множества U, мы можем найти коллекцию {Vᵢ}, объединение которых равно U. Категорически говоря, этот выбор делает U колимитом полной подкатегории, объекты которой – Vᵢ. Поскольку F контрвариантен, мы определяем F(U) как предел F(Vᵢ) по отношению к ограничениям. (Здесь мы должны предположить, что этот предел существует в .) Если U – базовое открытое множество, то U является терминальным объектом вышеуказанной подкатегории, и, следовательно, F(U) определяется однозначно. Таким образом, F расширяется до предпучка на X. Можно проверить, что F является пучком, по сути, потому что каждый элемент каждого открытого покрытия X является объединением базовых элементов (по определению базы), и каждое попарное пересечение элементов в открытом покрытии X является объединением базовых элементов (опять же, по определению базы).
which satisfies the gluing axiom for sets in That is, on a selection of open sets of , specifies all of the sections of a sheaf, and on the other open sets, it is undetermined. B sheaves are equivalent to sheaves (that is, the category of sheaves is equivalent to the category of B sheaves). Clearly a sheaf on can be restricted to a B sheaf. In the other direction, given a B sheaf we must determine the sections of on the other objects of To do this, note that for each open set , we can find a collection whose union is Categorically speaking, this choice makes the colimit of the full subcategory of whose objects are Since is contravariant, we define to be the limit of the with respect to the restriction maps. (Here we must assume that this limit exists in .) If is a basic open set, then is a terminal object of the above subcategory of , and hence Therefore, extends to a presheaf on It can be verified that is a sheaf, essentially because every element of every open cover of is a union of basis elements (by the definition of a basis), and every pairwise intersection of elements in an open cover of is a union of basis elements (again by the definition of a basis).
Логика С
Первые потребности теории снопов возникли для снопов абелевых групп; поэтому выбор категории абелевых групп в качестве базовой был вполне естественным. В приложениях к геометрии, например, к комплексным многообразиям и алгебраической геометрии, центральной является идея снопа локальных колец. Однако это не совсем одно и то же; вместо этого говорят о локально кольцевом пространстве, поскольку неверно, за исключением тривиальных случаев, что такой сноп является функтором в категорию локальных колец. Локальными кольцами являются слои снопа, а не множества сечений (которые являются кольцами, но в общем случае далеки от того, чтобы быть локальными). Мы можем рассматривать локально кольцевое пространство как параметризованное семейство локальных колец, зависящее от . Более детальное рассмотрение развеет любую неясность здесь. Можно свободно говорить о снопе абелевых групп или колец, поскольку это алгебраические структуры (определяемые, если настаивать, явной сигнатурой). Любая категория, обладающая конечными произведениями, поддерживает идею группового объекта, который некоторые предпочитают просто называть группой. В случае такой чисто алгебраической структуры мы можем говорить либо о снопе, принимающем значения в категории абелевых групп, либо об абелевой группе в категории снопов множеств; это на самом деле не имеет значения. В случае локального кольца это имеет значение. На фундаментальном уровне мы должны использовать второй стиль определения, чтобы описать, что означает локальное кольцо в категории. Это логический вопрос: аксиомы для локального кольца требуют использования экзистенциальной квантификации, в форме, что для любого элемента в кольце, один из или является обратимым. Это позволяет определить, каким должно быть "локальное кольцо в категории", если категория обладает достаточной структурой.
A more careful discussion dispels any mystery here. One can speak freely of a sheaf of abelian groups, or rings, because those are algebraic structures (defined, if one insists, by an explicit signature). Any category having finite products supports the idea of a group object, which some prefer just to call a group in In the case of this kind of purely algebraic structure, we can talk either of a sheaf having values in the category of abelian groups, or an abelian group in the category of sheaves of sets; it really doesn't matter. In the local ring case, it does matter. At a foundational level we must use the second style of definition, to describe what a local ring means in a category. This is a logical matter: axioms for a local ring require use of existential quantification, in the form that for any in the ring, one of and is invertible. This allows one to specify what a 'local ring in a category' should be, in the case that the category supports enough structure.
Складывание в коробки
Для превращения данного предпучка в пучок существует стандартный метод, называемый пучкованием или шефификацией. Общая интуиция того, что нужно сделать, по крайней мере для предпучка множеств, заключается во введении отношения эквивалентности, которое делает эквивалентные данные, заданные различными покрытиями, эквивалентными на пересечениях покрытий путем уточнения этих покрытий. Один из подходов, следовательно, заключается в переходе к стеблям и восстановлении пространства пучка наилучшего возможного пучка, полученного из этого.
This use of language strongly suggests that we are dealing here with adjoint functors. Therefore, it makes sense to observe that the sheaves on form a full subcategory of the presheaves on Implicit in that is the statement that a morphism of sheaves is nothing more than a natural transformation of the sheaves, considered as functors. Therefore, we get an abstract characterisation of sheafification as left adjoint to the inclusion. In some applications, naturally, one does need a description. In more abstract language, the sheaves on form a reflective subcategory of the presheaves (Mac Lane–Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86). In topos theory, for a Lawvere–Tierney topology and its sheaves, there is an analogous result (ibid. p. 227).
Такое использование языка сильно намекает на то, что мы имеем дело с сопряжёнными функторами. Поэтому разумно отметить, что пучки на образуют полную подкатегорию предпучков на . Неявно в этом содержится утверждение, что морфизм пучков – это не что иное, как естественное преобразование пучков, рассматриваемых как функторы. Таким образом, мы получаем абстрактную характеристику шефификации как левого сопряжённого к включению. В некоторых приложениях, конечно, требуется конкретное описание. В более абстратных терминах, пучки на образуют рефлексивную подкатегорию предпучков (Mac Lane–Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic, с. 86). В теории топосов для топологии Ловера–Тирни и её пучков существует аналогичный результат (там же, с. 227).
This use of language strongly suggests that we are dealing here with adjoint functors. Therefore, it makes sense to observe that the sheaves on form a full subcategory of the presheaves on Implicit in that is the statement that a morphism of sheaves is nothing more than a natural transformation of the sheaves, considered as functors. Therefore, we get an abstract characterisation of sheafification as left adjoint to the inclusion. In some applications, naturally, one does need a description. In more abstract language, the sheaves on form a reflective subcategory of the presheaves (Mac Lane–Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86). In topos theory, for a Lawvere–Tierney topology and its sheaves, there is an analogous result (ibid. p. 227).
Другие аксиомы клеяния
Аксиома склеивания в теории пучков довольно общая. Можно отметить, что аксиома Майера — Виториса теории гомотопий, например, является частным случаем.