Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике пространство Зейферта — Вебера (введённое Гербертом Зейфертом и Константином Вебером) является замкнутым гиперболическим 3-многообразием. Оно также известно как додекаэдрическое пространство Зейферта — Вебера и гиперболическое додекаэдрическое пространство. Это один из первых обнаруженных примеров замкнутых гиперболических 3-многообразий. Оно строится путём склеивания каждой грани додекаэдра с противоположной таким образом, чтобы получить замкнутое 3-многообразие. Существует три способа выполнить это склеивание согласованно. Противоположные грани не совпадают на 1/10 оборота, поэтому для их совмещения их необходимо повернуть на 1/10, 3/10 или 5/10 оборота; поворот на 3/10 даёт пространство Зейферта — Вебера. Поворот на 1/10 даёт сферу гомологии Пуанкаре, а поворот на 5/10 даёт трёхмерное вещественное проективное пространство. При использовании схемы склеивания с поворотом на 3/10, рёбра исходного додекаэдра склеиваются друг с другом группами по пять. Таким образом, в пространстве Зейферта — Вебера каждое ребро окружено пятью пятиугольными гранями, а двугранный угол между этими пятиугольниками равен 72°. Это не соответствует двугранному углу в 117° правильного додекаэдра в евклидовом пространстве, но в гиперболическом пространстве существуют правильные додекаэдры с любым двугранным углом между 60° и 117°, и гиперболический додекаэдр с двугранным углом 72° может быть использован для придания пространству Зейферта — Вебера геометрической структуры гиперболического многообразия. Это (конечного объёма) фактор-пространство (бесконечного объёма) додекаэдрической соты порядка 5, регулярной триангуляции гиперболического 3-пространства додекаэдрами с этим двугранным углом. Пространство Зейферта — Вебера является рациональной сферой гомологии, и его первая группа гомологии изоморфна. Уильям Терстон предположил, что пространство Зейферта — Вебера не является многообразием Хакена, то есть оно не содержит нестягиваемых поверхностей; это предположение было доказано с помощью их компьютерного программного обеспечения Regina.
In mathematics, Seifert–Weber space (introduced by Herbert Seifert and Constantin Weber) is a closed hyperbolic 3 manifold. It is also known as Seifert–Weber dodecahedral space and hyperbolic dodecahedral space. It is one of the first discovered examples of closed hyperbolic 3 manifolds. It is constructed by gluing each face of a dodecahedron to its opposite in a way that produces a closed 3 manifold. There are three ways to do this gluing consistently. Opposite faces are misaligned by 1/10 of a turn, so to match them they must be rotated by 1/10, 3/10 or 5/10 turn; a rotation of 3/10 gives the Seifert–Weber space. Rotation of 1/10 gives the Poincaré homology sphere, and rotation by 5/10 gives 3 dimensional real projective space. With the 3/10 turn gluing pattern, the edges of the original dodecahedron are glued to each other in groups of five. Thus, in the Seifert–Weber space, each edge is surrounded by five pentagonal faces, and the dihedral angle between these pentagons is 72°. This does not match the 117° dihedral angle of a regular dodecahedron in Euclidean space, but in hyperbolic space there exist regular dodecahedra with any dihedral angle between 60° and 117°, and the hyperbolic dodecahedron with dihedral angle 72° may be used to give the Seifert–Weber space a geometric structure as a hyperbolic manifold. It is a (finite volume) quotient space of the (non finite volume) order 5 dodecahedral honeycomb, a regular tessellation of hyperbolic 3 space by dodecahedra with this dihedral angle. The Seifert–Weber space is a rational homology sphere, and its first homology group is isomorphic to William Thurston conjectured that the Seifert–Weber space is not a Haken manifold, that is, it does not contain any incompressible surfaces; proved the conjecture with the aid of their computer software Regina.