Модель Арроу-Дебрё: Общая равновесная модель в экономике

Введение

Экономическая модель

В математической экономике модель Арроу — Дебрё является теоретической моделью общего равновесия. Она утверждает, что при определенных экономических предположениях (выпуклые предпочтения, совершенная конкуренция и независимость спроса) должен существовать набор цен, при котором совокупные предложения будут равны совокупным спросам на каждый товар в экономике. Эта модель является основополагающей в теории общего (экономического) равновесия и часто используется в качестве общей отправной точки для других микроэкономических моделей. Она была предложена Кеннетом Арроу и Жераром Дебрё в 1954 году, с последующими улучшениями в 1959 году. Модель АД является одной из наиболее общих моделей конкурентной экономики и играет важную роль в теории общего равновесия, поскольку её можно использовать для доказательства существования общего равновесия (или равновесия Уолраса) в экономике. В общем случае, может существовать множество равновесий. Арроу (1972) и Дебрё (1983) были удостоены Нобелевской премии по экономике за разработку этой модели, в то время как Маккензи не был награжден.

Официальное заявление

Содержание обеих теорем [фундаментальные теоремы экономики благосостояния] – это давние представления в экономике. Стрела и Дебре недавно подошли к этому вопросу, используя методы, позволяющие дать математические доказательства. Но речь шла не только об этом. Великие ученые меняют наше понимание мира и самих себя. Модель Арро-Дебре, представленная в "Теории ценности", радикально изменила базовое мышление и быстро стала стандартной моделью теории цен. Она является "эталонной" моделью в финансах, международной торговле, государственных финансах, транспорте и даже макроэкономике. В короткий срок она перестала быть "как у Маршалла, Хикса и Самуэльсона", а стала "как в "Теории ценности"".

Интуитивное описание модели ArrowDebreu

Модель Arrow-Debreu моделирует экономику как комбинацию трех видов агентов: домохозяйств, производителей и рынка. Домохозяйства и производители совершают сделки с рынком, но не напрямую друг с другом. Домохозяйства обладают наделениями (наборами товаров, с которых они начинают), которые можно рассматривать как "наследство". Для математической ясности предполагается, что все домохозяйства должны продать все свои наделения рынку в начале. Если они захотят сохранить часть наделения, им придется выкупить его на рынке позже. Наделения могут включать рабочее время, использование земли, тонны зерна и т.д. Домохозяйства владеют пропорциональной долей в производителях, которые можно рассматривать как акционерные общества. Прибыль, полученная производителем, распределяется между домохозяйствами пропорционально размеру доли каждого домохозяйства в этом производителе. Владение устанавливается в начале и не может быть продано, куплено, создано или отчуждено домохозяйствами. Домохозяйства получают бюджет, равный сумме доходов от продажи наделений и дивидендов от прибыли производителей. Домохозяйства имеют предпочтения относительно наборов товаров, что, при данных предположениях, делает их максимизаторами полезности. Домохозяйства выбирают план потребления, обеспечивающий максимальную полезность, которую они могут себе позволить в рамках своего бюджета. Производители способны преобразовывать наборы товаров в другие наборы товаров. Производители не имеют собственных функций полезности; они исключительно максимизируют прибыль. Рынок способен лишь "выбирать" вектор рыночных цен – список цен на каждый товар, который принимается всеми производителями и домохозяйствами (торгового поведения нет – каждый производитель и домохозяйство является ценополучателем). Рынок не имеет полезности или прибыли. Вместо этого рынок стремится выбрать такой вектор рыночных цен, чтобы планы потребления и производства домохозяйств и производителей "гармонизировались", несмотря на то, что каждое домохозяйство и каждый производитель максимизируют свою собственную полезность и прибыль. Иными словами, "рынок очищается". Другими словами, рынок играет роль "вальрасианского аукционера". +Как модель Arrow-Debreu развивается от начала до конца. Домохозяйства и производители получают наделения и собственность на производителейпродают все наделения на рынкепланируют производство для максимизации прибылизаключают соглашения о покупках с рынком и друг другомреализуют планы производствапродают все на рынкенаправляют всю прибыль домохозяйствам пропорционально их доле в собственностипланируют потребление для максимизации полезности при заданном бюджетном ограничениипокупают запланированное потребление на рынке.

The Arrow–Debreu model models an economy as a combination of three kinds of agents: the households, the producers, and the market. The households and producers transact with the market, but not with each other directly. The households possess endowments (bundles of commodities they begin with), which one may think of as "inheritance". For the sake of mathematical clarity, all households are required to sell all their endowment to the market at the beginning. If they wish to retain some of the endowment, they would have to repurchase from the market later. The endowments may be working hours, use of land, tons of corn, etc. The households possess proportional ownerships of producers, which can be thought of as joint stock companies. The profit made by producer is divided among the households in proportion to how much stock each household holds for the producer Ownership is imposed at the beginning, and the households may not sell, buy, create, or discard them. The households receive a budget, as the sum of income from selling endowments and dividend from producer profits. The households possess preferences over bundles of commodities, which under the assumptions given, makes them utility maximizers. The households choose the consumption plan with the highest utility that they can afford using their budget. The producers are capable of transforming bundles of commodities into other bundles of commodities. The producers have no separate utility functions. Instead, they are all purely profit maximizers. The market is only capable of "choosing" a market price vector, which is a list of prices for each commodity, which every producer and household takes (there is no bargaining behavior—every producer and household is a price taker). The market has no utility or profit. Instead, the market aims to choose a market price vector such that, even though each household and producer is maximizing their own utility and profit, their consumption plans and production plans "harmonize". That is, "the market clears". In other words, the market is playing the role of a "Walrasian auctioneer". +How an Arrow–Debreu model moves from beginning to end. householdsproducers receive endowment and ownership of producerssell all endowment to the marketplan production to maximize profitenter purchase agreements between the market and each otherperform production plansell everything to the marketsend all profits to households in proportion to ownershipplan consumption to maximize utility under budget constraintbuy the planned consumption from the market

Настройка обозначения

В общем, мы записываем индексы агентов в виде верхних индексов, а индексы координат векторов – в виде нижних индексов.

рынок

Товары индексируются следующим образом: N – количество товаров, существующих в экономике. Это конечное число. Вектор цен – это вектор длины N, где каждая координата представляет собой цену соответствующего товара. Цены могут быть равны нулю или быть положительными.

вся экономика

Экономика – это кортеж, то есть упорядоченный набор, определяющий перечень товаров, предпочтения потребителей, множества допустимого потребления и множества производственных возможностей производителей. Экономика с начальным распределением – это экономика вместе с кортежом начального распределения для этой экономики. Состояние экономики – это кортеж, содержащий цены, планы потребления и планы производства для каждого домохозяйства и производителя: состояние считается осуществимым, если выполняются условия , , и . Множество осуществимых производственных возможностей при заданном наделении равно . Для экономики с распределением состояние, соответствующее ценовому вектору , определяется как . Для экономики с распределением, ценовой вектор является равновесным ценовым вектором для экономики с начальным распределением, если. То есть, если цена товара не равна нулю, то предложение по этому товару равно спросу, а если цена товара равна нулю, то предложение больше или равно спросу (допускается избыточное предложение товара с нулевой ценой). Состояние является равновесным состоянием, если оно соответствует равновесному ценовому вектору.

Предположения

+на стороне домашних хозяйств, предположение/объяснение, можем ли мы его ослабить? Это техническое предположение, необходимое для корректности доказательств. Нет. Оно необходимо для существования функций спроса. Локальная ненасыщенность: Домохозяйства всегда хотят потреблять немного больше. Нет. Оно необходимо для выполнения закона Уолраса. Строгая выпуклость, строго убывающая предельная полезность: Да, достаточно выпуклости, с теоремой о неподвижной точке Какутани. См. следующий раздел. Выпуклость, убывающая предельная полезность: Да, до невыпуклости, с леммой Шапли-Фолкмана. Непрерывность: Закрытость. Техническое предположение, необходимое для существования функций полезности по теоремам Дебре. Нет. Если предпочтения не непрерывны, то функция избыточного спроса может быть не непрерывной. Строгая выпуклость: Для двух наборов потребления любой набор, строго между ними, строго предпочтительнее наименьшего. Да, достаточно выпуклости, с теоремой о неподвижной точке Какутани. См. следующий раздел. Выпуклость: Для двух наборов потребления любой набор между ними не хуже наименьшего. Да, до невыпуклости, с леммой Шапли-Фолкмана. Домохозяйство всегда имеет хотя бы один осуществимый план потребления. Отсутствие банкротства: Нет. Оно необходимо для существования функций спроса. +на стороне производителей, предположение/объяснение, можем ли мы его ослабить? Строгая выпуклость, убывающая отдача от масштаба: Да, достаточно выпуклости, с теоремой о неподвижной точке Какутани. См. следующий раздел. Выпуклость, отсутствие отдачи от масштаба: Да, до невыпуклости, с леммой Шапли-Фолкмана. Содержит 0: Производители могут закрываться бесплатно. Закрытость: Техническое предположение, необходимое для корректности доказательств. Нет. Оно необходимо для существования функций предложения. Ограниченность: Нет произвольно больших "бесплатных обедов". Нет. Экономике необходима ограниченность ресурсов. Ограниченность: Экономика не может обратить вспять произвольно большие преобразования.

Роль выпуклости

В 1954 году Маккензи, а также независимо от него, Ароу и Дебре доказали существование общего равновесия, используя теорему Какутани о фиксированной точке для фиксированных точек непрерывной функции из компактного, выпуклого множества в себя. В подходе Ароу — Дебре выпуклость является существенной, поскольку такие теоремы о фиксированной точке неприменимы к невыпуклым множествам. Например, вращение единичного круга на 90 градусов не имеет фиксированных точек, хотя это вращение представляет собой непрерывное преобразование компактного множества в себя; хотя единичный круг и компактен, он не является выпуклым. Напротив, то же вращение, примененное к выпуклой оболочке единичного круга, оставляет точку (0,0) фиксированной. Следует отметить, что теорема Какутани не утверждает о существовании единственной фиксированной точки. Отражение единичного диска относительно оси y оставляет фиксированным вертикальный отрезок, таким образом, это отражение имеет бесконечное число фиксированных точек.

Невыпуклость в крупных экономиках

Предположение о выпуклости исключало многие применения, которые обсуждались в «Журнале политической экономии» с 1959 по 1961 год Фрэнсисом М. Батором, М. Дж. Фарреллом, Тьяллингом Купмансом и Томасом Дж. Ротенбергом. Они доказали существование экономического равновесия в случаях, когда предпочтения некоторых потребителей не обязаны быть выпуклыми.

Теорема эквивалентности Узавы

(Узава, 1962) показал, что существование общего равновесия в экономике, характеризующейся непрерывной функцией избыточного спроса, удовлетворяющей закону Уолраса, эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точке. Следовательно, теорема Брауэра о неподвижной точке необходима для доказательства существования равновесия в общем случае.

Выпуклость против строгой выпуклости

Предположения строгой выпуклости могут быть ослаблены до выпуклости. Эта модификация изменяет функции спроса и предложения с точечно-значных функций на функции с множеством значений (или "соответствия"), а применение теоремы о неподвижной точке Брауэра заменяется применением теоремы о неподвижной точке Какутани. Эта модификация аналогична обобщению теоремы минимакса для установления существования равновесий Нэша. Две фундаментальные теоремы экономики благосостояния остаются в силе без изменений.

Равновесие против "квази-равновесия"

Определение рыночного равновесия предполагает, что каждое домохозяйство максимизирует полезность, исходя из бюджетных ограничений. Иначе говоря, двойственная задача заключается в минимизации затрат при заданном уровне полезности. То есть, для некоторого действительного числа разрыв двойственности между этими двумя задачами неотрицателен и может быть положительным. Следовательно, некоторые авторы изучают двойственную задачу и свойства ее "квазиравновесия" (или "компенсированного равновесия"). Любое равновесие является квазиравновесием, но обратное не всегда верно. Для того чтобы избежать технической проблемы, связанной с "квазиравновесием", необходимо предположить, что является многоугольным конусом или что внутренность каждого множества непуста. Без этого предположения мы можем лишь доказать, что содержится в множестве квазиравновесий.

Учет существования денег

Здесь не предлагается никакой теории денег, и предполагается, что экономика функционирует без использования блага в качестве средства обмена. |Gérard Debreu| Теория ценности: аксиоматический анализ экономического равновесия (1959) |source=Для чистого теоретика наиболее интересным и сложным аспектом денег на данном этапе является то, что им нет места в экономике Арроу-Дебрё. Это обстоятельство также должно иметь большое значение для макроэкономистов, но обычно это не так. |Frank Hahn| Основы денежной теории (1987) |source=Обычно экономисты рассматривают функции денег как единицу счета, средство сбережения, средство обмена и стандарт отсроченных платежей. Однако это несовместимо с полным рынком Арроу-Дебрё, описанным выше. На полном рынке происходит только одна транзакция на рынке "в начале времен". После этого домохозяйства и производители просто выполняют свои запланированные производства, потребление и поставки товаров до конца времен. Следовательно, нет необходимости в средстве сбережения или средстве обмена. Это относится не только к полному рынку Арроу-Дебрё, но и к моделям (таким как рынки контингентных товаров и контракты страхования Арроу), которые отличаются по форме, но математически эквивалентны ему.

Вычисление общего равновесия

Алгоритм Скарфа (1967) был первым алгоритмом, вычисляющим общее равновесие. См. обзоры в Scarf (2018) и Kubler (2012).

Количество равновесий

Некоторые экономики при определенных векторах наделения могут иметь бесконечное число равновесных ценовых векторов. Однако, "в общем случае", экономика имеет лишь конечное число равновесных ценовых векторов. Здесь "в общем случае" означает "во всех точках, кроме замкнутого множества меры Лебега, равной нулю", как в теореме Сарда. Существует множество подобных теорем общности. Один из примеров следующий: