Теорема вырезания в алгебраической топологии: упрощает вычисление гомологий, позволяя "вырезать" подпространство из пространства. Описание и применение.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Теорема в алгебраической топологии
Theorem in algebraic topology
В алгебраической топологии, ветви математики, теорема об исключении является теоремой об относительной гомологии и одной из аксиом Эйленберга — Стинрода. Для заданного топологического пространства и подпространств и , таких что является подпространством , теорема утверждает, что при определенных условиях можно исключить (вырезать) из обоих пространств так, чтобы относительные гомологии пар и были изоморфны. Это облегчает вычисление сингулярных групп гомологий, поскольку иногда после исключения подходящим образом выбранного подпространства мы получаем объект, более простой для вычисления.
In algebraic topology, a branch of mathematics, the excision theorem is a theorem about relative homology and one of the Eilenberg–Steenrod axioms. Given a topological space and subspaces and such that is also a subspace of , the theorem says that under certain circumstances, we can cut out (excise) from both spaces such that the relative homologies of the pairs into are isomorphic. This assists in computation of singular homology groups, as sometimes after excising an appropriately chosen subspace we obtain something easier to compute.
Скетч для доказательств
Доказательство теоремы об отсечении довольно интуитивно понятно, хотя детали достаточно сложны. Идея состоит в том, чтобы разбить симплексы в относительном цикле на более мелкие симплексы, получив другую цепь, состоящую из "меньших" симплексов, и продолжать этот процесс, пока каждый симплекс в цепи полностью не окажется в интерьере или интерьере . Поскольку они образуют открытое покрытие для и симплексы компактны, мы в конечном итоге сможем сделать это за конечное число шагов. Этот процесс не меняет исходный класс гомологии цепи (это означает, что оператор разбиения гомотопичен тождественному отображению на гомологии). Таким образом, в относительной гомологии все элементы, полностью содержащиеся в интерьере , можно отбросить, не изменяя класс гомологии цикла. Это позволяет нам показать, что отображение включения является изоморфизмом, поскольку каждый относительный цикл эквивалентен циклу, который полностью избегает .
The proof of the excision theorem is quite intuitive, though the details are rather involved. The idea is to subdivide the simplices in a relative cycle in to get another chain consisting of "smaller" simplices, and continuing the process until each simplex in the chain lies entirely in the interior of or the interior of Since these form an open cover for and simplices are compact, we can eventually do this in a finite number of steps. This process leaves the original homology class of the chain unchanged (this says the subdivision operator is chain homotopic to the identity map on homology). In the relative homology , then, this says all the terms contained entirely in the interior of can be dropped without affecting the homology class of the cycle. This allows us to show that the inclusion map is an isomorphism, as each relative cycle is equivalent to one that avoids entirely.
Аксиомы Эйленберга и Стинрода
Теорема вырезания считается одной из аксиом Эйленберга — Стинрода.
The excision theorem is taken to be one of the Eilenberg–Steenrod Axioms.
Последовательность Майера-Виториса
Последовательность Майера — Виеториса может быть выведена с использованием комбинации теоремы об исключении и длинной точной последовательности.
The Mayer–Vietoris sequence may be derived with a combination of excision theorem and the long exact sequence.
Теорема о подвеске для гомологии
Теорема об отсечении может быть использована для вывода теоремы о приостановлении для гомологии, которая утверждает, что для всех , где — приостановление .
The excision theorem may be used to derive the suspension theorem for homology, which says for all , where is the suspension of .