Введение

Концепция теории множеств
В математике, особенно в математической логике и теории множеств, клубное множество — это подмножество предельного ординала, замкнутое в топологии порядка и неограниченное (см. ниже) относительно этого ординала. Название "клубное" является сокращением от "замкнутое и неограниченное".

Закрытый не ограниченный фильтр

Пусть α — предельное порядковое число неисчислимой кофиналитности. Для некоторых κ, пусть ⟨Cᵢ : i < κ⟩ — последовательность замкнутых неограниченных подмножеств α. Тогда ⋂ᵢ Cᵢ также замкнуто и неограничено. Чтобы увидеть это, заметим, что пересечение замкнутых множеств всегда замкнуто, поэтому нам достаточно показать, что это пересечение неограничено. Пусть β — любое число из α, и для каждого n < ω выберем из каждого Cᵢ элемент xₙᵢ, что возможно, поскольку каждое Cᵢ неограничено. Поскольку мы рассматриваем меньше κ порядковых чисел, их наименьшая верхняя граница также меньше α, обозначим её γ. Этот процесс порождает счетную последовательность ⟨xₙ : n < ω⟩. Предел этой последовательности должен быть также пределом последовательности ⟨xₙᵢ : n < ω⟩, и поскольку каждое Cᵢ замкнуто, а α неисчислима, этот предел должен принадлежать каждому Cᵢ, и, следовательно, является элементом пересечения, большим β. Это показывает, что пересечение неограничено. Что и требовалось доказать. Из этого следует, что если κ — регулярный кардинал, то ℘(κ) является неглавным полным собственным фильтром на множестве κ (то есть на полурешётке κ). Если κ — регулярный кардинал, то клубные множества также замкнуты относительно диагонального пересечения. Более того, если κ — регулярный кардинал и F — любой фильтр на κ, замкнутый относительно диагонального пересечения и содержащий все множества вида {δ < κ : cf(δ) = κ}, то F должен содержать все клубные множества.