Введение
В математике контур Хэнкеля — это путь в комплексной плоскости, простирающийся от (+∞, δ) вокруг начала координат против часовой стрелки и возвращающийся в (+∞, −δ), где δ — произвольно малое положительное число. Таким образом, контур остаётся произвольно близким к вещественной оси, но не пересекает её, за исключением отрицательных значений x. Контур Хэнкеля также можно представить как путь с зеркальными отражениями непосредственно над и под вещественной осью, соединенными с окружностью радиуса ε, центром которой является начало координат, где ε — произвольно малое число. Считается, что две линейные части контура находятся на расстоянии δ от вещественной оси. Следовательно, общее расстояние между линейными частями контура равно 2δ. Контур обходится в положительном направлении, то есть окружность вокруг начала координат обходится против часовой стрелки. Использование контуров Хэнкеля — один из методов контурного интегрирования. Этот тип пути для контурных интегралов впервые был использован Германом Хэнкелем в его исследованиях гамма-функции. Контур Хэнкеля используется для вычисления интегралов, таких как гамма-функция, дзета-функция Римана и другие функции Хэнкеля (которые являются функциями Бесселя третьего рода).
(+∞,δ), around the origin counter clockwise and back to
(+∞,−δ), where δ is an arbitrarily small positive number. The contour thus remains arbitrarily close to the real axis but without crossing the real axis except for negative values of x. The Hankel contour can also be represented by a path that has mirror images just above and below the real axis, connected to a circle of radius ε, centered at the origin, where ε is an arbitrarily small number. The two linear portions of the contour are said to be a distance of δ from the real axis. Thus, the total distance between the linear portions of the contour is 2δ. The contour is traversed in the positively oriented sense, meaning that the circle around the origin is traversed counter clockwise. Use of Hankel contours is one of the methods of contour integration. This type of path for contour integrals was first used by Hermann Hankel in his investigations of the Gamma function. The Hankel contour is used to evaluate integrals such as the Gamma function, the Riemann zeta function, and other Hankel functions (which are Bessel functions of the third kind).
Контур Хэнкеля и гамма-функция
Контур Хэнкеля полезен для представления и решения гамма-функции в комплексной плоскости t. Гамма-функцию можно определить для любого комплексного значения в плоскости, вычисляя интеграл вдоль контура Хэнкеля. Контур Хэнкеля особенно удобен для представления гамма-функции при любом комплексном значении, поскольку конечные точки контура стремятся к нулю, что позволяет удовлетворить фундаментальное свойство гамма-функции, заключающееся в том, что .