Введение

Треугольник в гиперболической геометрии. Треугольники в гиперболической геометрии.

В гиперболической геометрии гиперболический треугольник — это треугольник на гиперболической плоскости. Он состоит из трех отрезков, называемых сторонами или ребрами, и трех точек, называемых углами или вершинами. Как и в евклидовом случае, любые три точки гиперболического пространства произвольной размерности всегда лежат в одной плоскости. Следовательно, плоские гиперболические треугольники также описывают возможные треугольники в любом более высоком измерении гиперболических пространств.

Определение

Гиперболический треугольник состоит из трех неколлинеарных точек и трех отрезков, соединяющих их.

Треугольник параллелизма

Треугольник, в котором одна вершина — идеальная точка, а один угол — прямой: третий угол является углом параллельности для длины стороны, лежащей между прямым и третьим углом.

Треугольник Швайкарта

Треугольник, в котором две вершины — идеальные точки, а оставшийся угол — прямой, один из первых гиперболических треугольников (1818), описанный Фердинандом Карлом Швейкартом.

Идеальный треугольник

Треугольник, все вершины которого являются идеальными точками, — идеальный треугольник — это наибольший возможный треугольник в гиперболической геометрии благодаря сумме углов, равной нулю.

Тригонометрия

Во всех формулах, представленных ниже, стороны a, b и c должны измеряться в абсолютной длине, в единицах, при которых гауссова кривизна K плоскости равна −1. Иными словами, величина R, упомянутая выше, предполагается равной 1. Тригонометрические формулы для гиперболических треугольников используют гиперболические функции sinh, cosh и tanh.

Угол параллелизма

Пример омега-треугольника с прямым углом предоставляет конфигурацию для изучения угла параллелизма в треугольнике. В этом случае угол B = 0, a = c = и , что приводит к .