Уильям Марк Голдман: вклад в геометрию и теорию представлений

Введение

Американский математик Уильям Марк Голдман (родился в 1955 году в Канзас-Сити, штат Миссури) — профессор математики в Университете Мэриленда, Колледж-Парк (с 1986 года). Он получил степень бакалавра (B.A.) по математике в Принстонском университете в 1977 году и степень доктора философии (Ph.D.) по математике в Калифорнийском университете в Беркли в 1980 году.

Взносы на исследования

Голдман исследовал геометрические структуры в различных формах на многообразиях со времен его дипломной работы «Аффинные многообразия и проективная геометрия на многообразиях», выполненной под руководством Уильяма Терстона и Денниса Салливана. Эта работа привела к сотрудничеству с Моррисом Хиршем и Дэвидом Фридом в изучении аффинных структур на многообразиях, а также к исследованиям в области вещественных проективных структур на компактных поверхностях. В частности, он доказал, что пространство выпуклых вещественных проективных структур на замкнутой ориентируемой поверхности рода гомеоморфно открытой ячейке размерности . Вместе с Сухён Чхве он доказал, что это пространство является связным компонентом («компонентом Хитчина») пространства классов эквивалентности представлений фундаментальной группы в . Комбинируя этот результат с теоремой о выпуклом разложении Сухён Чхве, он пришел к полной классификации выпуклых вещественных проективных структур на компактных поверхностях. В своей докторской диссертации «Дискретные группы и класс Эйлера» (под руководством Морриса У. Хирша) он характеризует дискретные вложения групп поверхностей в в терминах максимального класса Эйлера, доказывая обратное неравенству Милнора — Вуда для плоских расслоений. Вскоре после этого он показал, что пространство представлений фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности рода в имеет связных компонент, различающихся классом Эйлера. Вместе с Дэвидом Фридом он классифицировал компактные фактор-пространства евклидова 3-мерного пространства по дискретным группам аффинных преобразований, показав, что все такие многообразия являются конечными фактор-пространствами торусных расслоений над окружностью. Некомпактный случай гораздо интереснее, поскольку Григорий Маргулис обнаружил полные аффинные многообразия со свободной неабелевой фундаментальной группой. В своей докторской диссертации 1990 года Тодд Драмм нашел примеры, представляющие собой сплошные ручки, использующие многогранники, которые с тех пор стали называться «кривыми плоскостями». Голдман нашел примеры (неевклидовы ниль-многообразия и солв-многообразия) замкнутых 3-многообразий, которые не допускают плоских конформных структур. Обобщая работу Скотта Вулперта о симплектической структуре Вейля — Петерсона на пространстве гиперболических структур на поверхностях, он нашел алгебраико-топологическое описание симплектической структуры на пространствах представлений группы поверхности в редуктивной группе Ли. Следы представлений соответствующих кривых на поверхностях порождают алгебру Пуассона, чья скобка Ли имеет топологическое описание с точки зрения пересечений кривых. Кроме того, гамильтоновы векторные поля этих следовых функций определяют потоки, обобщающие потоки Фенхеля — Нильсена в пространстве Тейхмюллера. Эта симплектическая структура инвариантна относительно естественного действия группы модулярных преобразований, и, используя связь между поворотами Дена и обобщенными потоками Фенхеля — Нильсена, он доказал эргодичность действия группы модулярных преобразований на SU(2)-характерной сортости относительно симплектической меры Лебега. По предложению Пьера Делиня он и Джон Миллсон доказали, что сортость представлений фундаментальной группы компактного кэлерова многообразия имеет сингулярности, определяемые системами однородных квадратных уравнений. Это приводит к различным результатам локальной жесткости для действий на эрмитово-симметричных пространствах. Вместе с Джоном Паркером он исследовал представления групп идеальных треугольников в комплексной гиперболической плоскости. Это представления гиперболических идеальных треугольных групп в группу голоморфных изометрий комплексной гиперболической плоскости, такие что каждый стандартный генератор треугольной группы отображается в комплексное отражение, а произведения пар генераторов — в параболические преобразования. Пространство представлений для заданной треугольной группы (по модулю сопряженности) параметризуется полуоткрытым интервалом. Они показали, что представления в определенном диапазоне дискретны, и предположили, что представление будет дискретным тогда и только тогда, когда оно будет в определенном более широком диапазоне. Это стало известно как гипотеза Голдмана — Паркера и в конечном итоге было доказано Ричардом Шварцем.

Goldman has investigated geometric structures, in various incarnations, on manifolds since his undergraduate thesis, "Affine manifolds and projective geometry on manifolds", supervised by William Thurston and Dennis Sullivan. This work led to work with Morris Hirsch and David Fried on affine structures on manifolds, and work in real projective structures on compact surfaces. In particular he proved that the space of convex real projective structures on a closed orientable surface of genus is homeomorphic to an open cell of dimension With Suhyoung Choi, he proved that this space is a connected component (the "Hitchin component") of the space of equivalence classes of representations of the fundamental group in Combining this result with Suhyoung Choi's convex decomposition theorem, this led to a complete classification of convex real projective structures on compact surfaces. His doctoral dissertation, "Discontinuous groups and the Euler class" (supervised by Morris W. Hirsch), characterizes discrete embeddings of surface groups in in terms of maximal Euler class, proving a converse to the Milnor–Wood inequality for flat bundles. Shortly thereafter he showed that the space of representations of the fundamental group of a closed orientable surface of genus in has connected components, distinguished by the Euler class. With David Fried, he classified compact quotients of Euclidean 3 space by discrete groups of affine transformations, showing that all such manifolds are finite quotients of torus bundles over the circle. The noncompact case is much more interesting, as Grigory Margulis found complete affine manifolds with nonabelian free fundamental group. In his 1990 doctoral thesis, Todd Drumm found examples which are solid handlebodies using polyhedra which have since been called "crooked planes." Goldman found examples (non Euclidean nilmanifolds and solvmanifolds) of closed 3 manifolds which fail to admit flat conformal structures. Generalizing Scott Wolpert's work on the Weil–Petersson symplectic structure on the space of hyperbolic structures on surfaces, he found an algebraic topological description of a symplectic structure on spaces of representations of a surface group in a reductive Lie group. Traces of representations of the corresponding curves on the surfaces generate a Poisson algebra, whose Lie bracket has a topological description in terms of the intersections of curves. Furthermore, the Hamiltonian vector fields of these trace functions define flows generalizing the Fenchel–Nielsen flows on Teichmüller space. This symplectic structure is invariant under the natural action of the mapping class group, and using the relationship between Dehn twists and the generalized Fenchel–Nielsen flows, he proved the ergodicity of the action of the mapping class group on the SU(2) character variety with respect to symplectic Lebesgue measure. Following suggestions of Pierre Deligne, he and John Millson proved that the variety of representations of the fundamental group of a compact Kähler manifold has singularities defined by systems of homogeneous quadratic equations. This leads to various local rigidity results for actions on Hermitian symmetric spaces. With John Parker, he examined the complex hyperbolic ideal triangle group representations. These are representations of hyperbolic ideal triangle groups to the group of holomorphic isometries of the complex hyperbolic plane such that each standard generator of the triangle group maps to a complex reflection and the products of pairs of generators to parabolics. The space of representations for a given triangle group (modulo conjugacy) is parametrized by a half open interval. They showed that the representations in a particular range were discrete and conjectured that a representation would be discrete if and only if it was in a specified larger range. This has become known as the Goldman–Parker conjecture and was eventually proven by Richard Schwartz.

Профессиональные услуги

Голдман также возглавляет исследовательскую группу в Университете Мэриленда, называемую Лабораторией экспериментальной геометрии – команду, разрабатывающую программное обеспечение (преимущественно в Mathematica) для исследования геометрических структур и динамики в малых размерностях. Он был членом Совета управляющих Геометрического центра при Университете Миннесоты с 1994 по 1996 год. С 2003 по 2013 год он занимал должность главного редактора журнала Geometriae Dedicata.

Награды и почести

В 2012 году он стал членом Американского математического общества.