Введение

Свойства математических соотношений

В математике термин «линейный» используется в двух различных значениях для обозначения двух различных свойств:
линейности функции (или отображения);
линейности многочлена. Примером линейной функции является функция, определяемая как отображающая вещественную прямую на прямую в евклидовой плоскости R2, проходящую через начало координат. Пример линейного многочлена в переменных x и y:

Линейность отображения тесно связана с пропорциональностью. Примеры в физике включают линейную зависимость напряжения и тока в электрическом проводнике (закон Ома) и зависимость массы и веса. В отличие от них, более сложные зависимости, такие как между скоростью и кинетической энергией, являются нелинейными. В обобщенном виде для функций в более чем одном измерении линейность означает свойство функции, заключающееся в совместимости со сложением и масштабированием, также известное как принцип суперпозиции. Линейность многочлена означает, что его степень меньше двух. Использование этого термина для многочленов обусловлено тем, что график многочлена от одной переменной является прямой линией. В термине «линейное уравнение» слово «линейный» относится к линейности входящих в него многочленов. Поскольку функция, такая как f(x), определяется линейным многочленом относительно своего аргумента, её иногда также называют «линейной функцией», а соотношение между аргументом и значением функции может называться «линейной зависимостью». Это может вводить в заблуждение, но обычно подразумеваемый смысл понятен из контекста. Слово «линейный» происходит от латинского linearis, что означает «относящийся к линии или напоминающий линию».

Физика

В физике линейность — это свойство дифференциальных уравнений, описывающих многие системы, например, уравнения Максвелла или уравнение диффузии. Линейность однородного дифференциального уравнения означает, что если две функции f и g являются решениями этого уравнения, то любая их линейная комбинация af + bg также будет решением. В приборостроении линейность означает, что одинаковое изменение входной переменной вызывает такое же изменение выходного сигнала измерительного прибора, что крайне важно в научных исследованиях. Как правило, приборы демонстрируют линейность в определенном диапазоне и наиболее эффективны именно в этом диапазоне. В отличие от этого, человеческие органы чувств сильно нелинейны: например, мозг полностью игнорирует поступающий свет, пока его интенсивность не превысит определенный абсолютный пороговый уровень, выраженный в количестве фотонов. Линейное движение описывается прямой траекторией.

Электроника

В электронике линейная рабочая область устройства, например транзистора, – это область, где выходная зависимая переменная (например, ток коллектора транзистора) прямо пропорциональна входной зависимой переменной (например, базовому току). Это обеспечивает точное воспроизведение входного сигнала в виде аналогового выхода, как правило, с большей амплитудой (усиленным). Типичным примером линейного оборудования является высококачественный звуковой усилитель, который должен усиливать сигнал, не искажая его форму. К другим примерам относятся линейные фильтры и линейные усилители в целом. В большинстве научных и технических, в отличие от математических, приложений, что-либо может описываться как линейное, если его характеристика приблизительно, но не идеально, является прямой линией; при этом линейность может быть справедлива только в определенном рабочем диапазоне. Например, высококачественный усилитель может незначительно искажать слабый сигнал, но в допустимых пределах (допустимая, но неидеальная линейность), и может сильно искажать сигнал при превышении определенного входного значения.

Интегральная линейность

Для электронного устройства (или другого физического устройства), которое преобразует одну величину в другую, Бертрам С. Колтс пишет:

Существует три основных определения интегральной линейности, которые обычно используются: независимая линейность, линейность относительно нуля и терминальная, или концевая, линейность. В каждом случае линейность определяет, насколько хорошо фактическая характеристика устройства в заданном диапазоне работы аппроксимируется прямой линией. Линейность обычно измеряется как отклонение, или нелинейность, от идеальной прямой и обычно выражается в процентах от полного диапазона или в ppm (частях на миллион) от полного диапазона. Как правило, прямая линия определяется методом наименьших квадратов. Эти три определения различаются способом расположения прямой линии относительно фактической характеристики устройства. Кроме того, все три определения не учитывают ошибки усиления или смещения, которые могут присутствовать в фактических характеристиках устройства.