Введение

Математическое описание смешивания веществ

В математике смешивание — это абстрактное понятие, берущее начало в физике: попытка описать необратимый термодинамический процесс смешивания в реальном мире, например, смешивание красок, смешивание напитков или промышленные процессы смешивания. Это понятие встречается в эргодической теории — разделе математики, изучающем стохастические процессы и динамические системы, сохраняющие меру. Существует несколько различных определений смешивания, включая сильное смешивание, слабое смешивание и топологическое смешивание, причем последнее не требует определения меры. Некоторые из этих определений можно упорядочить иерархически: сильное смешивание влечет за собой слабое смешивание. Более того, слабое смешивание (а следовательно, и сильное смешивание) влечет за собой эргодичность: то есть, любая система, обладающая свойством слабого смешивания, также является эргодической (и поэтому говорят, что смешивание является более строгим условием, чем эргодичность).

Покрытие семей

При заданном топологическом пространстве, таком как единичный интервал (независимо от того, имеет ли он конечные точки или нет), мы можем построить на нем меру, взяв открытые множества, затем их объединения, дополнения, объединения, дополнения и так далее до бесконечности, чтобы получить все множества Бореля. Далее мы определяем меру на множествах Бореля, а затем добавляем все подмножества меры нуль ("пренебрежимые множества"). Таким образом мы получаем меру Лебега и измеримые по Лебегу множества. В большинстве приложений эргодической теории базовое пространство почти везде изоморфно открытому подмножеству некоторого ℝⁿ, и, следовательно, является пространством с мерой Лебега. Проверка сильного смешивания может быть упрощена, если необходимо проверить лишь меньшее множество измеримых множеств. Покрывающее семейство – это множество измеримых множеств, такое что любое открытое множество является непересекающимся объединением множеств из него. Сравните это с базой в топологии, которая менее ограничена, поскольку допускает непересекающиеся объединения. Теорема. Для пространств Лебега, если отображение T сохраняет меру, и T(A) = B для всех A в покрывающем семействе, то T является сильно смешивающим. Доказательство. Расширяем уравнение смешивания со всех A в покрывающем семействе на все открытые множества посредством непересекающегося объединения, на все замкнутые множества, беря дополнение, и на все измеримые множества, используя регулярность меры Лебега для приближения любого множества открытыми и замкнутыми множествами. Таким образом, T(A) = B для всех измеримых множеств A и B.

Обобщения

Определение, приведенное выше, иногда называют сильным смешиванием второго порядка, чтобы отличить его от смешиваний более высоких порядков. Сильную систему смешивания третьего порядка можно определить как систему, для которой

выполняется для всех измеримых множеств A, B, C. Аналогичным образом можно определить сильное смешивание k-го порядка. Система, являющаяся сильным смешиванием для всех k = 2, 3, 4, называется смешиванием всех порядков. Неизвестно, влечет ли сильное смешивание второго порядка сильное смешивание третьего порядка. Известно, что сильное смешивание m-го порядка влечет эргодичность.

Примеры

Иррациональные вращения окружности и, в более общем смысле, необратимые трансляции на торе, являются эргодическими, но не сильно и не слабо смешивающимися относительно меры Лебега. Многие отображения, рассматриваемые как хаотичные, сильно смешиваются для некоторых хорошо выбранных инвариантных мер, включая: диадическое отображение, отображение "кошки" Арнольда, отображения "подкова", автоморфизмы Колмогорова и поток Аносова (геодезический поток на единичном касательном расслоении компактных многообразий отрицательной кривизны). Диадическое отображение – это "сдвиг влево в двоичной системе счисления". В общем случае, для любого *b*, отображение "сдвига влево в системе счисления *b*" сильно смешивается на покрывающей семье, следовательно, оно сильно смешивается на *X<sub>b</sub>*, и, следовательно, сильно смешивается на *X*. Аналогично, для любого конечного или счетного алфавита, мы можем задать на нем дискретное распределение вероятностей, а затем рассмотреть распределение вероятностей на пространстве "бросков монеты", где каждый "бросок монеты" может принимать значения из Σ. Мы можем построить либо односторонне бесконечное пространство, либо двусторонне бесконечное пространство. В обоих случаях отображение сдвига (на одну букву влево) сильно смешивается, поскольку оно сильно смешивается на покрывающей семье цилиндрических множеств. Отображение Бейкера изоморфно отображению сдвига, поэтому оно сильно смешивается.