Топологические свойства и инварианты пространства

Введение

Математическое свойство пространства
В топологии и смежных областях математики топологическое свойство или топологический инвариант — это свойство топологического пространства, которое не изменяется при гомеоморфизмах. Альтернативно, топологическое свойство — это собственный класс топологических пространств, замкнутый относительно гомеоморфизмов. То есть, свойство пространства является топологическим, если для любого пространства X, обладающего этим свойством, любое пространство, гомеоморфное X, также обладает этим свойством. Неформально, топологическое свойство — это свойство пространства, которое можно выразить с использованием открытых множеств. Распространенная задача в топологии — определить, гомеоморфны ли два топологических пространства. Чтобы доказать, что два пространства не гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, которым одно из них не обладает.

Кардинальные функции

Кардинальность пространства. Кардинальность топологии (множества открытых подмножеств) пространства. Вес, наименьшая кардинальность базы топологии пространства. Плотность, наименьшая кардинальность подмножества, замыкание которого равно .

Разделение

Некоторые из этих терминов определяются по-разному в более старой математической литературе; см. историю аксиом разделения. T0 или Колмогоров. Пространство является колмогоровским, если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует хотя бы одно открытое множество, содержащее x, но не y, или открытое множество, содержащее y, но не x. T1 или Фреше. Пространство является фрешетовским, если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует открытое множество, содержащее x, но не y. (Сравните с T0; здесь разрешено указать, какая точка будет содержаться в открытом множестве.) Эквивалентно, пространство является T1, если все его синглетоны замкнуты. Пространства T1 всегда T0. Трезвое. Пространство является трезвым, если каждое неразложимое замкнутое множество C имеет единственную общую точку p. Иными словами, если C не является (возможно, недизъюнктным) объединением двух меньших замкнутых непустых подмножеств, то существует p, такое что замыкание {p} равно C, и p — единственная точка с этим свойством. T2 или Хаусдорф. Пространство является хаусдорфовым, если любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Пространства T2 всегда T1. T2½ или Урысон. Пространство является урысоновским, если любые две различные точки имеют непересекающиеся замкнутые окрестности. Пространства T2½ всегда T2. Полностью T2 или полностью хаусдорфово. Пространство является полностью T2, если любые две различные точки разделены функцией. Каждое полностью хаусдорфово пространство является урысоновским. Регулярное. Пространство является регулярным, если для любого замкнутого множества C и точки p, не принадлежащей C, C и p имеют непересекающиеся окрестности. T3 или регулярное хаусдорфово. Пространство является регулярным хаусдорфовым, если оно является регулярным пространством T0. (Регулярное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно T0, поэтому терминология согласована.) Полностью регулярное. Пространство является полностью регулярным, если для любого замкнутого множества C и точки p, не принадлежащей C, C и {p} разделены функцией. T3½, Тихонов, полностью регулярное хаусдорфово или полностью T3. Пространство Тихонова — это полностью регулярное пространство T0. (Полностью регулярное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно T0, поэтому терминология согласована.) Тихоновские пространства всегда регулярные хаусдорфовы. Нормальное. Пространство является нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Нормальные пространства допускают разбиение единства. T4 или нормальное хаусдорфово. Нормальное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно T1. Нормальные хаусдорфовы пространства всегда тихоновские. Полностью нормальное. Пространство является полностью нормальным, если любые два разделенных множества имеют непересекающиеся окрестности. T5 или полностью нормальное хаусдорфово. Полностью нормальное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно T1. Полностью нормальные хаусдорфовы пространства всегда нормальные хаусдорфовы. Идеально нормальное. Пространство является идеально нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены функцией. Идеально нормальное пространство также должно быть полностью нормальным. T6 или идеально нормальное хаусдорфово, или идеально T4. Пространство является идеально нормальным хаусдорфовым, если оно одновременно идеально нормальное и T1. Идеально нормальное хаусдорфово пространство также должно быть полностью нормальным хаусдорфовым. Дискретное пространство. Пространство является дискретным, если все его точки полностью изолированы, то есть любое подмножество открыто. Количество изолированных точек. Количество изолированных точек топологического пространства.

Some of these terms are defined differently in older mathematical literature; see history of the separation axioms. T0 or Kolmogorov. A space is Kolmogorov if for every pair of distinct points x and y in the space, there is at least either an open set containing x but not y, or an open set containing y but not x.
T1 or Fréchet. A space is Fréchet if for every pair of distinct points x and y in the space, there is an open set containing x but not y. (Compare with T0; here, we are allowed to specify which point will be contained in the open set.) Equivalently, a space is T1 if all its singletons are closed. T1 spaces are always T0. Sober. A space is sober if every irreducible closed set C has a unique generic point p. In other words, if C is not the (possibly nondisjoint) union of two smaller closed non empty subsets, then there is a p such that the closure of {p} equals C, and p is the only point with this property. T2 or Hausdorff. A space is Hausdorff if every two distinct points have disjoint neighbourhoods. T2 spaces are always T1. T2½ or Urysohn. A space is Urysohn if every two distinct points have disjoint closed neighbourhoods. T2½ spaces are always T2. Completely T2 or completely Hausdorff. A space is completely T2 if every two distinct points are separated by a function. Every completely Hausdorff space is Urysohn. Regular. A space is regular if whenever C is a closed set and p is a point not in C, then C and p have disjoint neighbourhoods. T3 or Regular Hausdorff. A space is regular Hausdorff if it is a regular T0 space. (A regular space is Hausdorff if and only if it is T0, so the terminology is consistent.) Completely regular. A space is completely regular if whenever C is a closed set and p is a point not in C, then C and {p} are separated by a function. T3½, Tychonoff, Completely regular Hausdorff or Completely T3. A Tychonoff space is a completely regular T0 space. (A completely regular space is Hausdorff if and only if it is T0, so the terminology is consistent.) Tychonoff spaces are always regular Hausdorff. Normal. A space is normal if any two disjoint closed sets have disjoint neighbourhoods. Normal spaces admit partitions of unity. T4 or Normal Hausdorff. A normal space is Hausdorff if and only if it is T1. Normal Hausdorff spaces are always Tychonoff. Completely normal. A space is completely normal if any two separated sets have disjoint neighbourhoods. T5 or Completely normal Hausdorff. A completely normal space is Hausdorff if and only if it is T1. Completely normal Hausdorff spaces are always normal Hausdorff. Perfectly normal. A space is perfectly normal if any two disjoint closed sets are precisely separated by a function. A perfectly normal space must also be completely normal. T6 or Perfectly normal Hausdorff, or perfectly T4. A space is perfectly normal Hausdorff, if it is both perfectly normal and T1. A perfectly normal Hausdorff space must also be completely normal Hausdorff. Discrete space. A space is discrete if all of its points are completely isolated, i. e. if any subset is open. Number of isolated points. The number of isolated points of a topological space.

Условия подотчетности

Разделимое. Пространство называется разделимым, если оно содержит счётное плотное подмножество. Первый счётный. Пространство называется первым счётным, если в каждой его точке существует счётная локальная база. Второй счётный. Пространство называется вторым счётным, если оно имеет счётную базу своей топологии. Второе счётное пространство всегда разделимо, первое счётно и линделёфово.

Связь

Связность. Пространство называется связным, если его нельзя представить в виде объединения пары непересекающихся непустых открытых множеств. Эквивалентно, пространство связно, если единственными замкнуто-открытыми множествами являются пустое множество и само пространство. Локальная связность. Пространство локально связно, если каждая его точка имеет локальную базу, состоящую из связных множеств. Полностью несвязно. Пространство полностью несвязно, если оно не содержит связных подмножеств, состоящих более чем из одной точки. Путевая связность. Пространство X путево связно, если для любых двух точек x, y в X существует путь p из x в y, то есть непрерывное отображение p: [0,1] → X, такое что p(0) = x и p(1) = y. Путево связные пространства всегда связны. Локальная путевая связность. Пространство локально путево связно, если каждая его точка имеет локальную базу, состоящую из путево связных множеств. Локально путево связное пространство связно тогда и только тогда, когда оно путево связно. Дуговая связность. Пространство X дугово связно, если для любых двух точек x, y в X существует дуга f из x в y, то есть инъективное непрерывное отображение с и . Дугово связные пространства путево связны. Простая связность. Пространство X просто связно, если оно путево связно и каждое непрерывное отображение гомотопно постоянному отображению. Локальная простая связность. Пространство X локально просто связно, если каждая точка x в X имеет локальную базу окрестностей U, которая является просто связной. Полулокальная простая связность. Пространство X полулокально просто связно, если каждая точка имеет локальную базу окрестностей U, такую что каждая петля в U стягивается в X. Полулокальная простая связность, являясь более слабым условием, чем локальная простая связность, является необходимым условием для существования универсального накрытия. Стягиваемость. Пространство X стягиваемо, если тождественное отображение на X гомотопно постоянному отображению. Стягиваемые пространства всегда просто связны. Гиперсвязность. Пространство гиперсвязно, если никакие два непустых открытых множества не являются непересекающимися. Каждое гиперсвязное пространство связно. Ультрасвязность. Пространство ультрасвязно, если никакие два непустых замкнутых множества не являются непересекающимися. Каждое ультрасвязное пространство путево связно. Недискретность или тривиальность. Пространство называется недискретным, если единственными открытыми множествами являются пустое множество и само пространство. Такое пространство называется пространством с тривиальной топологией.

Connected. A space is connected if it is not the union of a pair of disjoint non empty open sets. Equivalently, a space is connected if the only clopen sets are the empty set and itself. Locally connected. A space is locally connected if every point has a local base consisting of connected sets. Totally disconnected. A space is totally disconnected if it has no connected subset with more than one point. Path connected. A space X is path connected if for every two points x, y in X, there is a path p from x to y, i. e., a continuous map p: [0,1] → X with p(0) = x and p(1) = y. Path connected spaces are always connected. Locally path connected. A space is locally path connected if every point has a local base consisting of path connected sets. A locally path connected space is connected if and only if it is path connected. Arc connected. A space X is arc connected if for every two points x, y in X, there is an arc f from x to y, i. e., an injective continuous map with and Arc connected spaces are path connected. Simply connected. A space X is simply connected if it is path connected and every continuous map is homotopic to a constant map. Locally simply connected. A space X is locally simply connected if every point x in X has a local base of neighborhoods U that is simply connected. Semi locally simply connected. A space X is semi locally simply connected if every point has a local base of neighborhoods U such that every loop in U is contractible in X. Semi local simple connectivity, a strictly weaker condition than local simple connectivity, is a necessary condition for the existence of a universal cover. Contractible. A space X is contractible if the identity map on X is homotopic to a constant map. Contractible spaces are always simply connected. Hyperconnected. A space is hyperconnected if no two non empty open sets are disjoint. Every hyperconnected space is connected. Ultraconnected. A space is ultraconnected if no two non empty closed sets are disjoint. Every ultraconnected space is path connected. Indiscrete or trivial. A space is indiscrete if the only open sets are the empty set and itself. Such a space is said to have the trivial topology.

Компактность

Компактный. Пространство компактно, если у каждого открытого покрытия есть конечное подпокрытие. Некоторые авторы называют эти пространства квазикомпактными и резервируют термин "компактный" для пространств Хаусдорфа, где каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Компактные пространства всегда линделёфовы и паракомпактны. Следовательно, компактные пространства Хаусдорфа нормальны. Последовательно компактный. Пространство последовательно компактно, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. Счетно компактный. Пространство счетно компактно, если у каждого счетного открытого покрытия есть конечное подпокрытие. Псевдокомпактный. Пространство псевдокомпактно, если каждая непрерывная вещественнозначная функция на пространстве ограничена. σ-компактный. Пространство σ-компактно, если оно является объединением счетного числа компактных подмножеств. Линделёфов. Пространство линделёфово, если у каждого открытого покрытия есть счетное подпокрытие. Паракомпактный. Пространство паракомпактно, если каждое открытое покрытие имеет открытое локально конечное уточнение. Паракомпактные пространства Хаусдорфа нормальны. Локально компактный. Пространство локально компактно, если для каждой точки существует локальная база, состоящая из компактных окрестностей. Используются также несколько иные определения. Локально компактные пространства Хаусдорфа всегда являются тихоновыми. Ультрасвязный компакт. В ультрасвязном компактном пространстве X каждое открытое покрытие должно содержать само X. Непустые ультрасвязные компактные пространства имеют наибольшее собственное открытое подмножество, называемое монолитом.

Метризация

Метризуемое. Пространство называется метризуемым, если оно гомеоморфно метрическому пространству. Метризуемые пространства всегда являются хаусдорфовыми и паракомпактными (и, следовательно, нормальными и тихонофовыми), и счетно первыми. Более того, топологическое пространство считается метризуемым, если для него существует метрика, такая что индуцированная метрикой топология совпадает с заданной топологией. Польское. Пространство называется польским, если оно метризуемо с помощью сепарабельной и полной метрики. Локально метризуемое. Пространство называется локально метризуемым, если для каждой его точки существует метризуемая окрестность.

Нетопологические свойства

Есть много примеров свойств метрических пространств и т.д., которые не являются топологическими свойствами. Чтобы показать, что свойство не является топологическим, достаточно найти два гомеоморфных топологических пространства, обладающих свойством , но не обладающих свойством . Например, свойства метрического пространства ограниченности и полноты не являются топологическими свойствами. Пусть и — метрические пространства со стандартной метрикой. Тогда, существует гомеоморфизм между ними. Однако, одно из них является полным, но не ограниченным, а другое — ограниченным, но не полным.