Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике оператор переноса кодирует информацию об итерируемом отображении и часто используется для изучения поведения динамических систем, статистической механики, квантового хаоса и фракталов. Во всех типичных случаях наибольшее собственное значение равно 1, а соответствующий собственный вектор является инвариантной мерой системы. Оператор переноса иногда называют оператором Руэля, в честь Давида Руэля, или оператором Перрона — Фробениуса, либо оператором Руэля — Перрона — Фробениуса, в связи с применимостью теоремы Перрона — Фробениуса к определению собственных значений оператора.
In mathematics, the transfer operator encodes information about an iterated map and is frequently used to study the behavior of dynamical systems, statistical mechanics, quantum chaos and fractals. In all usual cases, the largest eigenvalue is 1, and the corresponding eigenvector is the invariant measure of the system. The transfer operator is sometimes called the Ruelle operator, after David Ruelle, or the Perron–Frobenius operator or Ruelle–Perron–Frobenius operator, in reference to the applicability of the Perron–Frobenius theorem to the determination of the eigenvalues of the operator.
Приложения
В то время как итерация функции естественным образом приводит к изучению орбит точек X при итерации (изучению динамики точек), оператор переноса определяет, как (гладкие) отображения эволюционируют при итерации. Таким образом, операторы переноса часто встречаются в физических задачах, таких как квантический хаос и статистическая механика, где внимание сосредоточено на временной эволюции гладких функций. В свою очередь, это находит медицинское применение в рациональном дизайне лекарств через область молекулярной динамики. Часто оператор переноса является положительным, имеет дискретные положительные собственные значения, причем наибольшее собственное значение равно единице. По этой причине оператор переноса иногда называют оператором Фробениуса — Перрона. Собственные функции оператора переноса обычно являются фракталами. Когда логарифм оператора переноса соответствует квантовому гамильтониану, собственные значения обычно будут очень близко расположены, и, следовательно, даже очень узкий и тщательно отобранный набор квантовых состояний будет включать большое количество различных фрактальных собственных состояний с ненулевой поддержкой на всем объеме. Это может быть использовано для объяснения многих результатов классической статистической механики, включая необратимость времени и рост энтропии. Оператор переноса отображения Бернулли является точно решаемым и является классическим примером детерминированного хаоса; дискретные собственные значения соответствуют полиномам Бернулли. Этот оператор также имеет непрерывный спектр, состоящий из дзета-функции Хурвица. Оператор переноса отображения Гаусса называется оператором Гаусса — Кузьмина — Вирсинга (GKW). Теория GKW восходит к гипотезе Гаусса о цепных дробях и тесно связана с дзета-функцией Римана.
Whereas the iteration of a function naturally leads to a study of the orbits of points of X under iteration (the study of point dynamics), the transfer operator defines how (smooth) maps evolve under iteration. Thus, transfer operators typically appear in physics problems, such as quantum chaos and statistical mechanics, where attention is focused on the time evolution of smooth functions. In turn, this has medical applications to rational drug design, through the field of molecular dynamics. It is often the case that the transfer operator is positive, has discrete positive real valued eigenvalues, with the largest eigenvalue being equal to one. For this reason, the transfer operator is sometimes called the Frobenius–Perron operator. The eigenfunctions of the transfer operator are usually fractals. When the logarithm of the transfer operator corresponds to a quantum Hamiltonian, the eigenvalues will typically be very closely spaced, and thus even a very narrow and carefully selected ensemble of quantum states will encompass a large number of very different fractal eigenstates with non zero support over the entire volume. This can be used to explain many results from classical statistical mechanics, including the irreversibility of time and the increase of entropy. The transfer operator of the Bernoulli map is exactly solvable and is a classic example of deterministic chaos; the discrete eigenvalues correspond to the Bernoulli polynomials. This operator also has a continuous spectrum consisting of the Hurwitz zeta function. The transfer operator of the Gauss map is called the Gauss–Kuzmin–Wirsing (GKW) operator. The theory of the GKW dates back to a hypothesis by Gauss on continued fractions and is closely related to the Riemann zeta function.