Введение
Обобщение производной функции
In mathematics, a weak derivative is a generalization of the concept of the derivative of a function (strong derivative) for functions not assumed differentiable, but only integrable, i. e., to lie in the Lp space
The method of integration by parts holds that for differentiable functions and we have
A function u' being the weak derivative of u is essentially defined by the requirement that this equation must hold for all infinitely differentiable functions vanishing at the boundary points .
В математике слабая производная — это обобщение понятия производной функции (строгой производной) для функций, не предполагаемых дифференцируемыми, но лишь интегрируемыми, то есть принадлежащих пространству Lp. Метод интегрирования по частям утверждает, что для дифференцируемых функций f и g справедливо:
In mathematics, a weak derivative is a generalization of the concept of the derivative of a function (strong derivative) for functions not assumed differentiable, but only integrable, i. e., to lie in the Lp space
The method of integration by parts holds that for differentiable functions and we have
A function u' being the weak derivative of u is essentially defined by the requirement that this equation must hold for all infinitely differentiable functions vanishing at the boundary points .
∫ f'g dx = fg - ∫ fg' dx.
In mathematics, a weak derivative is a generalization of the concept of the derivative of a function (strong derivative) for functions not assumed differentiable, but only integrable, i. e., to lie in the Lp space
The method of integration by parts holds that for differentiable functions and we have
A function u' being the weak derivative of u is essentially defined by the requirement that this equation must hold for all infinitely differentiable functions vanishing at the boundary points .
Слабая производная u' функции u по существу определяется требованием, чтобы это уравнение выполнялось для всех бесконечно дифференцируемых функций φ, обращающихся в нуль на границе.
In mathematics, a weak derivative is a generalization of the concept of the derivative of a function (strong derivative) for functions not assumed differentiable, but only integrable, i. e., to lie in the Lp space
The method of integration by parts holds that for differentiable functions and we have
A function u' being the weak derivative of u is essentially defined by the requirement that this equation must hold for all infinitely differentiable functions vanishing at the boundary points .
Примеры
Функция абсолютной величины, которая не дифференцируема в точке , имеет слабую производную, известную как функция знака, и заданную выражением . Это не единственная слабая производная для u: любая функция w, равная v почти всюду, также является слабой производной для u. Например, определение v(0) выше может быть заменено любым желаемым действительным числом. Обычно наличие нескольких решений не является проблемой, поскольку функции считаются эквивалентными в теории пространств Lp и пространств Соболева, если они равны почти всюду. Характерная функция рациональных чисел нигде не дифференцируема, но при этом имеет слабую производную. Поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю, следовательно, является слабой производной от . Отметим, что это согласуется с нашей интуицией, поскольку при рассмотрении как элемента пространства Lp, она отождествляется с нулевой функцией. Функция Кантора c не имеет слабой производной, несмотря на то, что она дифференцируема почти всюду. Это связано с тем, что любая слабая производная c должна быть почти всюду равна классической производной c, которая почти всюду равна нулю. Но нулевая функция не является слабой производной c, что можно увидеть, сравнив её с соответствующей тестовой функцией. В более теоретическом плане, c не имеет слабой производной, потому что её распределительная производная, а именно распределение Кантора, является сингулярной мерой и, следовательно, не может быть представлена функцией.
Свойства
Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, то они совпадают почти всюду, то есть отличаются друг от друга только на множестве меры Лебега нуль. Если рассматривать классы эквивалентности функций, где две функции считаются эквивалентными, если они совпадают почти всюду, то слабая производная будет единственной. Также, если u дифференцируема в обычном смысле, то её слабая производная тождественна (в указанном выше смысле) её обычной (сильной) производной. Таким образом, слабая производная является обобщением сильной производной. Более того, классические правила дифференцирования сумм и произведений функций также справедливы для слабой производной.
Расширения
Эта концепция приводит к определению слабых решений в пространствах Соболева, которые полезны для решения задач дифференциальных уравнений и в функциональном анализе.