Кіріспе
Функцияның туындысын жалпылау. Математикада, әлсіз туынды – функцияның туындысы (күшті туынды) тұжырымдамасының жалпылауы болып табылады, бұл функциялар дифференциалдануы міндетті емес, бірақ интегралдануы мүмкін, яғни Lp кеңістігінде жатады. Бөлшектеп интегралдау әдісіне сәйкес, дифференциалданатын функциялар үшін және бізде мына теңдік орындалады:
In mathematics, a weak derivative is a generalization of the concept of the derivative of a function (strong derivative) for functions not assumed differentiable, but only integrable, i. e., to lie in the Lp space
The method of integration by parts holds that for differentiable functions and we have
A function u' being the weak derivative of u is essentially defined by the requirement that this equation must hold for all infinitely differentiable functions vanishing at the boundary points .
Функцияның u' әлсіз туындысы болуы, негізінен, осы теңдеунің шекаралық нүктелерде нөлге тең болатын, барлық тегіс дифференциалданатын функциялар үшін орындалуы керек деген талаппен анықталады.
In mathematics, a weak derivative is a generalization of the concept of the derivative of a function (strong derivative) for functions not assumed differentiable, but only integrable, i. e., to lie in the Lp space
The method of integration by parts holds that for differentiable functions and we have
A function u' being the weak derivative of u is essentially defined by the requirement that this equation must hold for all infinitely differentiable functions vanishing at the boundary points .
Мысалдар
Абсолюттік мән функциясы , ол дифференциалдана алмайды, әлсіз туындысы бар, ол таңба функциясы деп аталады және келесідей берілген. Бұл u үшін жалғыз әлсіз туынды емес: кез келген w, v-ге дерлік әр жерде тең болса, u үшін де әлсіз туынды болып табылады. Мысалы, v(0) жоғарыдағы анықтамасы кез келген нақты санмен алмастырылуы мүмкін. Әдетте, бірнеше шешімнің болуы мәселе тудырмайды, себебі функциялар Lp және Соболев кеңістіктерінің теориясында дерлік әр жерде тең болса, эквивалентті саналады. Рационал сандардың сипаттамалық функциясы ешқандай жерде дифференциалдана алмайды, бірақ әлсіз туындыға ие. Рационал сандардың Лебег өлшемі нөлге тең болғандықтан, бұл біздің интуициямызбен сәйкес келеді, өйткені Lp кеңістігінің мүшесі ретінде қарастырылғанда, ол нөлдік функциямен теңестіріледі. Кантор функциясы c, дерлік әр жерде дифференциалдануға қарамастан, әлсіз туындыға ие емес. Себебі c-дің кез келген әлсіз туындысы, дерлік әр жерде c-дің классикалық туындысына тең болуы керек, ол дерлік әр жерде нөлге тең. Бірақ нөлдік функция c-дің әлсіз туындысы емес, бұл тиісті сынақ функциясымен салыстыру арқылы көрінеді. Теориялық тұрғыдан алғанда, c-дің әлсіз туындысы жоқ, өйткені оның таралымдық туындысы, атап айтқанда Кантор таралымы, ерекше өлшем болып табылады және демек, оны функция арқылы көрсету мүмкін емес.
Қасиеттері
Егер екі функция бір функцияның әлсіз туындылары болса, олар Лебег өлшемі нөлге тең жиынтықта ғана ерекшеленеді, яғни дерлік әр жерде тең болады. Егер екі функция дерлік әр жерде тең болса, оларды эквивалентті деп есептесек, онда әлсіз туынды бірегей болады. Сондай-ақ, егер u функция дәстүрлі мағынада дифференциалданатын болса, оның әлсіз туындысы дәстүрлі (күшті) туындысымен сәйкес келеді (жоғарыда көрсетілген мағынада). Осылайша, әлсіз туынды – күшті туындының жалпылама түрі болып табылады. Бұдан бөлек, функциялардың қосындысы мен көбейтіндісі үшін классикалық ережелер әлсіз туындыға да қатысты.
Ұзартулар
Бұл ұғым Соболев кеңістіктеріндегі әлсіз шешімдердің анықтамасын тудырады, олар дифференциалдық теңдеулер мәселелерінде және функционалдық талдауда пайдалы.