Евклид: Древнегреческий математик и основоположник геометрии

Введение

Древнегреческий математик (ок. 300 до н. э.)

Евклид (/j//uː//k//l//ɪ//d/; ; до н. э.) — древнегреческий математик, работавший геометром и логиком. Считается «отцом геометрии», он наиболее известен своим трактатом «Начала», который заложил основы геометрии, доминировавшей в этой области до начала XIX века. Его система, ныне известная как евклидова геометрия, включала в себя новые разработки в сочетании с синтезом теорий более ранних греческих математиков, таких как Эвдокс из Книда, Гиппократ из Хиоса, Фалес и Театет. Наряду с Архимедом и Аполлонием Пергским Евклид обычно считается одним из величайших математиков античности и одним из самых влиятельных в истории математики. О жизни Евклида известно очень мало, и большая часть информации исходит от учёных Прокла и Паппа Александрийского, живших спустя много веков. Средневековые исламские математики создали вымышленную биографию, а средневековые византийские и учёные раннего Возрождения ошибочно принимали его за более раннего философа Евклида из Мегары. В настоящее время общепринято считать, что он провёл свою карьеру в Александрии и жил около 300 года до н. э., после учеников Платона и до Архимеда. Существует предположение, что Евклид учился в Платоновской академии, а затем преподавал в Музее; он рассматривается как связующее звено между ранней платоновской традицией в Афинах и более поздней традицией Александрии. В «Началах» Евклид выводил теоремы из небольшого набора аксиом. Он также писал работы по перспективе, коническим сечениям, сферической геометрии, теории чисел и математической строгости. Помимо «Начал», Евклид написал основополагающий ранний труд в области оптики — «Оптика», а также менее известные работы, включая «Данные» и «Явления». Авторство Евклида работ «О делении фигур» и «Катоптрика» вызывает сомнения. Считается, что он написал множество утраченных произведений.

Традиционное повествование

Английское название «Евклид» является англицизированной версией древнегреческого имени (Εὐκλείδης). Оно происходит от «eu» (εὖ; «хорошо») и «klês» (κλῆς; «слава»), что означает «знаменитый, прославленный». В английском языке, по метонимии, «Евклид» может означать его наиболее известную работу, «Начала» Евклида, или её копию, и иногда является синонимом «геометрии». Как и в случае со многими древнегреческими математиками, детали жизни Евклида в основном неизвестны. Он общепризнан автором четырёх сохранившихся трактатов — «Начала», «Оптика», «Данные», «Феномены», но помимо этого о нём ничего достоверно не известно. Традиционное изложение в основном следует рассказу Прокла в V веке нашей эры в его «Комментарии к первой книге «Начал» Евклида», а также нескольким анекдотам Паппа Александрийского из начала IV века. Согласно Проклу, Евклид жил вскоре после нескольких последователей Платона (до н.э.) и до математика Архимеда (ок. 287 – ок. 212 до н.э.); в частности, Прокл относит Евклида ко времени правления Птолемея I (до н.э.). Дата рождения Евклида неизвестна; некоторые учёные оценивают её приблизительно 330 или 325 годом до н.э., но другие воздерживаются от спекуляций. Предполагается, что он был греческого происхождения, но его место рождения неизвестно. Прокл считал, что Евклид придерживался платонической традиции, однако окончательного подтверждения этому нет. Маловероятно, что он был современником Платона, поэтому часто предполагается, что он получил образование у учеников Платона в Платоновской академии в Афинах. Историк Томас Хит поддержал эту теорию, отметив, что в Афинах жили наиболее выдающиеся геометры, в том числе многие из тех, на чьих работах опирался Евклид; Сиаларос считает это лишь предположением. В любом случае, содержание работ Евклида свидетельствует о знакомстве с традицией платонической геометрии. В своём «Сборнике» Папп упоминает, что Аполлоний учился у учеников Евклида в Александрии, и это было истолковано как указание на то, что Евклид работал и основал там математическую школу. Город был основан Александром Великим в 331 году до н.э., а правление Птолемея I, начиная с 306 года до н.э., обеспечило ему стабильность, которая была относительно уникальной на фоне хаотичных войн за раздел империи Александра. Птолемей начал процесс эллинизации и инициировал многочисленные строительства, возведя огромное учреждение Мусейон, который стал ведущим центром образования. Предполагается, что Евклид был одним из первых учёных Мусейона. Дата смерти Евклида неизвестна; предполагается, что он умер ок. 270 г. до н.э.

The English name 'Euclid' is the anglicized version of the Ancient Greek name (Εὐκλείδης). It is derived from 'eu ' (εὖ; 'well') and 'klês' ( κλῆς; 'fame'), meaning "renowned, glorious". In English, by metonymy, 'Euclid' can mean his most well known work, Euclid's Elements, or a copy thereof, and is sometimes synonymous with 'geometry'. As with many ancient Greek mathematicians, the details of Euclid's life are mostly unknown. He is accepted as the author of four mostly extant treatises—the Elements, Optics, Data, Phaenomena—but besides this, there is nothing known for certain of him. The traditional narrative mainly follows the 5th century AD account by Proclus in his Commentary on the First Book of Euclid's Elements, as well as a few anecdotes from Pappus of Alexandria in the early 4th century. According to Proclus, Euclid lived shortly after several of Plato's ( BC) followers and before the mathematician Archimedes (c. 287 – c. 212 BC); specifically, Proclus placed Euclid during the rule of Ptolemy I ( BC). Euclid's birthdate is unknown; some scholars estimate around 330 or 325 BC, but others refrain from speculating. It is presumed that he was of Greek descent, but his birthplace is unknown. Proclus held that Euclid followed the Platonic tradition, but there is no definitive confirmation for this. It is unlikely he was contemporary with Plato, so it is often presumed that he was educated by Plato's disciples at the Platonic Academy in Athens. Historian Thomas Heath supported this theory, noting that most capable geometers lived in Athens, including many of those whose work Euclid built on; Sialaros considers this a mere conjecture. In any event, the contents of Euclid's work demonstrate familiarity with the Platonic geometry tradition. In his Collection, Pappus mentions that Apollonius studied with Euclid's students in Alexandria, and this has been taken to imply that Euclid worked and founded a mathematical tradition there. The city was founded by Alexander the Great in 331 BC, and the rule of Ptolemy I from 306 BC onwards gave it a stability which was relatively unique amid the chaotic wars over dividing Alexander's empire. Ptolemy began a process of hellenization and commissioned numerous constructions, building the massive Musaeum institution, which was a leading center of education. Euclid is speculated to have been among the Musaeum's first scholars. Euclid's date of death is unknown; it has been speculated that he died c. 270 BC.

Идентичность и историчность

Евклида часто называют «Евклидом Александрийским», чтобы отличить его от более раннего философа Евклида Мегарского, ученика Сократа, включенного в диалоги Платона, с которым он исторически был ошибочно отождествлен. Валерий Максим, римский компилятор анекдотов I века нашей эры, по ошибке подставил имя Евклида вместо Евдокса (IV век до н.э.) как математика, к которому Платон направил тех, кто спрашивал о способе удвоения куба. Вероятно, основываясь на этом упоминании математического Евклида примерно за столетие до этого, Евклид был смешан с Евклидом Мегарским в средневековых византийских источниках (ныне утерянных), что в конечном итоге привело к приписыванию математику Евклиду деталей биографий обоих и описанию его как Megarensis. Византийский ученый Феодор Метохит явно отождествлял двух Евклидов, как и типограф Эрхард Ратдольт в 1482 году в издании princeps латинского перевода «Элементов» Кампануса Новарского. После того как математик Де приложил большинство сохранившихся биографических фрагментов об обоих Евклидах к предисловию своего перевода «Элементов» 1505 года, последующие публикации передали эту идентификацию. Позднее ученые эпохи Возрождения, особенно Питер Рамус, пересмотрели это утверждение, доказав его ложность, опираясь на хронологические нестыковки и противоречия в ранних источниках. Средневековые арабские источники содержат обширную информацию о жизни Евклида, но она полностью непроверяема. Большинство ученых считают ее сомнительной; в частности, Хит утверждает, что эта выдумка была создана для укрепления связи между почитаемым математиком и арабским миром. Существует также множество анекдотических историй, связанных с Евклидом, все они имеют неопределенную историческую достоверность и «изображают его как доброго и мягкого старика». Наиболее известна история Прокла о том, как Птолемей спросил Евклида, есть ли более быстрый путь к изучению геометрии, чем чтение его «Элементов», на что Евклид ответил: «Нет царского пути в геометрии». Этот анекдот вызывает сомнения, поскольку очень похожий эпизод между Менахмом и Александром Македонским записан Стобеем. Оба рассказа были написаны в V веке нашей эры, ни один из них не указывает на свой источник и ни один не встречается в древнегреческой литературе. Любая точная датировка деятельности Евклида ставится под сомнение из-за отсутствия упоминаний современников. Самое раннее оригинальное упоминание Евклида содержится в предисловии Аполлония к «Коническим сечениям» (начало II века до н.э.): «Третья книга «Конических сечений» содержит множество удивительных теорем, полезных как для синтеза, так и для определения числа решений плоских локусов. Большинство из них, и лучшие из них, новы. И когда мы их открыли, мы поняли, что Евклид не выполнил синтез локуса на трех и четырех линиях, а лишь случайный его фрагмент, и даже это было сделано не совсем удачно». Предполагается, что «Элементы» были распространены, по крайней мере частично, уже в III веке до н.э., поскольку Архимед и Аполлоний принимают некоторые из его положений как данность; однако Архимед использует более старый вариант теории пропорций, чем тот, что представлен в «Элементах». Самые старые сохранившиеся физические копии материала, включенного в «Элементы», датируемые примерно 100 годом нашей эры, найдены на фрагментах папируса, обнаруженных на древней свалке в Оксиринхе, римском Египте. Самые старые сохранившиеся прямые цитаты из «Элементов» в работах, даты которых точно известны, относятся ко II веку нашей эры и принадлежат Галену и Александру Афродизийскому; к этому времени это был стандартный школьный учебник. Некоторые древнегреческие математики упоминают Евклида по имени, но обычно его называют «ὁ στοιχειώτης» («автор «Элементов»»). В Средние века некоторые ученые утверждали, что Евклид не был исторической личностью и что его имя произошло от искажения греческих математических терминов.

Euclid is often referred to as 'Euclid of Alexandria' to differentiate him from the earlier philosopher Euclid of Megara, a pupil of Socrates included in dialogues of Plato with whom he was historically conflated. Valerius Maximus, the 1st century AD Roman compiler of anecdotes, mistakenly substituted Euclid's name for Eudoxus (4th century BC) as the mathematician to whom Plato sent those asking how to double the cube. Perhaps on the basis of this mention of a mathematical Euclid roughly a century early, Euclid became mixed up with Euclid of Megara in medieval Byzantine sources (now lost), eventually leading Euclid the mathematician to be ascribed details of both men's biographies and described as Megarensis The Byzantine scholar Theodore Metochites explicitly conflated the two Euclids, as did printer Erhard Ratdolt's 1482 editio princeps of Campanus of Novara's Latin translation of the Elements. After the mathematician de appended most of the extant biographical fragments about either Euclid to the preface of his 1505 translation of the Elements, subsequent publications passed on this identification. Later Renaissance scholars, particularly Peter Ramus, reevaluated this claim, proving it false via issues in chronology and contradiction in early sources. Medieval Arabic sources give vast amounts of information concerning Euclid's life, but are completely unverifiable. Most scholars consider them of dubious authenticity; Heath in particular contends that the fictionalization was done to strengthen the connection between a revered mathematician and the Arab world. There are also numerous anecdotal stories concerning to Euclid, all of uncertain historicity, which "picture him as a kindly and gentle old man". The best known of these is Proclus' story about Ptolemy asking Euclid if there was a quicker path to learning geometry than reading his Elements, which Euclid replied with "there is no royal road to geometry". This anecdote is questionable since a very similar interaction between Menaechmus and Alexander the Great is recorded from Stobaeus. Both accounts were written in the 5th century AD, neither indicates its source, and neither appears in ancient Greek literature. Any firm dating of Euclid's activity is called into question by a lack of contemporary references. The earliest original reference to Euclid is in Apollonius' prefatory letter to the Conics (early 2nd century BC): "The third book of the Conics contains many astonishing theorems that are useful for both the syntheses and the determinations of number of solutions of solid loci. Most of these, and the finest of them, are novel. And when we discovered them we realized that Euclid had not made the synthesis of the locus on three and four lines but only an accidental fragment of it, and even that was not felicitously done." The Elements is speculated to have been at least partly in circulation by the 3rd century BC, as Archimedes and Apollonius take several of its propositions for granted; however, Archimedes employs an older variant of the theory of proportions than the one found in the Elements. The oldest physical copies of material included in the Elements, dating from roughly 100 AD, can be found on papyrus fragments unearthed in an ancient rubbish heap from Oxyrhynchus, Roman Egypt. The oldest extant direct citations to the Elements in works whose dates are firmly known are not until the 2nd century AD, by Galen and Alexander of Aphrodisias; by this time it was a standard school text. Some ancient Greek mathematicians mention Euclid by name, but he is usually referred to as "ὁ στοιχειώτης" ("the author of Elements"). In the Middle Ages, some scholars contended Euclid was not a historical personage and that his name arose from a corruption of Greek mathematical terms.

Элементы

Евклид наиболее известен своим тринадцатитомным трактатом «Элементы» (Wikt:στοιχεία (Στοιχεῖα]]); «Стойхея» (Stoicheia)), считающимся его главным произведением. Большая часть его содержания восходит к трудам более ранних математиков, включая Эвдокса, Гиппократа Хиосского, Фалеса и Театета, в то время как другие теоремы упоминаются Платоном и Аристотелем. Трудно отделить вклад Евклида от работы его предшественников, особенно поскольку «Элементы» фактически заменили многие более ранние и ныне утраченные греческие математические труды. Классицист Маркус Аспер заключает, что «очевидно, заслуга Евклида состоит в систематизации общепринятых математических знаний в последовательный порядок и добавлении новых доказательств для устранения пробелов», а математик Серафина Куомо описывает его как «сокровищницу результатов». Однако Сиаларос утверждает, что «поразительно чёткая структура «Элементов» свидетельствует об авторском контроле, выходящем за рамки простой редакторской работы». «Элементы» посвящены не только геометрии, как иногда полагают. Традиционно они разделены на три раздела: планиметрия (книги 1–6), элементарная теория чисел (книги 7–10) и стереометрия (книги 11–13), хотя книга 5 (о пропорциях) и книга 10 (об иррациональных величинах) не вполне соответствуют этой схеме. Основу текста составляют теоремы, разбросанные по всему произведению. Используя терминологию Аристотеля, их можно разделить на две категории: «первоначала» и «вторичные принципы». В первую группу входят утверждения, обозначенные как «определение» (или ὁρισμός), «постулат» (αἴτημα) или «общее понятие» (κοινὴ ἔννοια); только в первой книге содержатся постулаты, впоследствии известные как аксиомы, и общие понятия. Вторая группа состоит из теорем, представленных вместе с математическими доказательствами и схемами. Неизвестно, планировал ли Евклид «Элементы» в качестве учебника, но его изложение делает его вполне подходящим для этой цели. В целом, авторский стиль остаётся общим и безличным.

Содержание

Постулаты Евклида и общие понятия № (Число) Постулаты Пусть будет постулировано следующее: 1. Построить прямую линию от любой точки к любой точке. 2. Постоянно продолжать конечную прямую линию по прямой. 3. Описать окружность с любым центром и расстоянием. 4. Все прямые углы равны друг другу. 5. Если прямая линия, пересекающая две другие прямые, образует внутренние углы с одной стороны, меньшие двух прямых углов, то эти две прямые, будучи продолжены неопределенно, встретятся на той стороне, где углы меньше двух прямых углов. № (Число) Общие понятия 1. Вещи, равные одному и тому же, равны и между собой. 2. Если равные величины прибавить к равным, то суммы равны. 3. Если равные величины вычесть из равных, то остатки равны. 4. Вещи, совпадающие друг с другом, равны друг другу. 5. Целое больше своей части.

Книга 1 «Начал» является основой для всего текста. Она начинается с серии из 20 определений основных геометрических понятий, таких как прямые, углы и различные правильные многоугольники. Затем Евклид представляет 10 предположений (см. таблицу справа), сгруппированных в пять постулатов (аксиом) и пять общих понятий. Эти предположения предназначены для обеспечения логической основы для каждой последующей теоремы, то есть служат аксиоматической системой. Общие понятия касаются исключительно сравнения величин. В то время как постулаты 1–4 относительно просты, 5-й известен как постулат о параллельных прямых и особенно знаменит. Книга 1 также включает 48 предложений, которые можно условно разделить на те, которые касаются основных теорем и построений планиметрии и конгруэнтности треугольников (1–26); параллельных прямых (27–34); площади треугольников и параллелограммов (35–45); и теоремы Пифагора (46–48). Последнее из них содержит самое раннее сохранившееся доказательство теоремы Пифагора, описанное Силаром как «замечательно тонкое». Книга 2 традиционно понимается как посвященная «геометрической алгебре», хотя эта интерпретация активно обсуждается с 1970-х годов; критики описывают эту характеристику как анахронизм, поскольку основы даже зарождающейся алгебры возникли много веков спустя. Вторая книга имеет более узкую направленность и в основном предоставляет алгебраические теоремы, сопровождающие различные геометрические фигуры. Она фокусируется на площади прямоугольников и квадратов (см. Квадратуру) и приводит к геометрическому предшественнику закона косинусов. Книга 3 посвящена окружностям, а в четвертой рассматриваются правильные многоугольники, особенно пятиугольник. Книга 5 является одним из важнейших разделов работы и представляет то, что обычно называют «общей теорией пропорций». Книга 6 использует «теорию отношений» в контексте планиметрии. Она почти полностью построена на первом предложении: «Треугольники и параллелограммы, находящиеся под одной и той же высотой, относятся друг к другу как их основания». Начиная с седьмой книги, математик отмечает, что «Евклид начинает заново. Ничто из предыдущих книг не используется». Книги 7–10 посвящены теории чисел, первая из которых начинается с набора из 22 определений четности, простых чисел и других связанных с арифметикой понятий. Книга 7 включает в себя алгоритм Евклида, метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. В 8-й книге рассматриваются геометрические прогрессии, а в 9-й содержится положение, теперь называемое теоремой Евклида, о том, что существует бесконечно много простых чисел. Из «Начал» книга 10 является самой большой и сложной, она посвящена иррациональным числам в контексте величин. Последние три книги (11–13) в основном посвящены стереометрии. В книге 11 представлен список из 37 определений, которые дают контекст следующим двум. Хотя ее основополагающий характер напоминает книгу 1, в отличие от последней она не имеет аксиоматической системы или постулатов. Три раздела книги 11 включают в себя содержание по стереометрии (1–19), твердым углам (20–23) и параллелепипедам (24–37).

Book 1 of the Elements is foundational for the entire text. It begins with a series of 20 definitions for basic geometric concepts such as lines, angles and various regular polygons. Euclid then presents 10 assumptions (see table, right), grouped into five postulates (axioms) and five common notions. These assumptions are intended to provide the logical basis for every subsequent theorem, i. e. serve as an axiomatic system. The common notions exclusively concern the comparison of magnitudes. While postulates 1 through 4 are relatively straightforward, the 5th is known as the parallel postulate and particularly famous. Book 1 also includes 48 propositions, which can be loosely divided into those concerning basic theorems and constructions of plane geometry and triangle congruence (1–26); parallel lines (27–34); the area of triangles and parallelograms (35–45); and the Pythagorean theorem (46–48). The last of these includes the earliest surviving proof of the Pythagorean theorem, described by Sialaros as "remarkably delicate". Book 2 is traditionally understood as concerning "geometric algebra", though this interpretation has been heavily debated since the 1970s; critics describe the characterization as anachronistic, since the foundations of even nascent algebra occurred many centuries later. The second book has a more focused scope and mostly provides algebraic theorems to accompany various geometric shapes. It focuses on the area of rectangles and squares (see Quadrature), and leads up to a geometric precursor of the law of cosines. Book 3 focuses on circles, while the 4th discusses regular polygons, especially the pentagon. Book 5 is among the work's most important sections and presents what is usually termed as the "general theory of proportion". Book 6 utilizes the "theory of ratios" in the context of plane geometry. It is built almost entirely of its first proposition: "Triangles and parallelograms which are under the same height are to one another as their bases". From Book 7 onwards, the mathematician de notes that "Euclid starts afresh. Nothing from the preceding books is used". Number theory is covered by books 7 to 10, the former beginning with a set of 22 definitions for parity, prime numbers and other arithmetic related concepts. Book 7 includes the Euclidean algorithm, a method for finding the greatest common divisor of two numbers. The 8th book discusses geometric progressions, while book 9 includes the proposition, now called Euclid's theorem, that there are infinitely many prime numbers. Of the Elements, book 10 is by far the largest and most complex, dealing with irrational numbers in the context of magnitudes. The final three books (11–13) primarily discuss solid geometry. By introducing a list of 37 definitions, Book 11 contextualizes the next two. Although its foundational character resembles Book 1, unlike the latter it features no axiomatic system or postulates. The three sections of Book 11 include content on solid geometry (1–19), solid angles (20–23) and parallelepipedal solids (24–37).

Другие работы

Помимо "Начал", до наших дней сохранилось по меньшей мере пять других работ Евклида. Они построены по той же логической схеме, что и "Начала", с определениями и доказанными утверждениями. "Катоптрика" посвящена математической теории зеркал, в частности изображениям, формирующимся в плоских и вогнутых сферических зеркалах, хотя авторство иногда ставится под сомнение. "Данные" – это сравнительно небольшой текст, рассматривающий природу и значение "заданной" информации в геометрических задачах. От трактата "О делениях" сохранились лишь фрагменты в арабском переводе, и он посвящен делению геометрических фигур на две или более равных частей или на части в заданном отношении. Он содержит тридцать шесть положений и схож с "Коническими сечениями" Аполлония. "Оптика" – самый ранний из дошедших до нас греческих трактатов о перспективе. В ней содержится вводное обсуждение геометрической оптики и основных правил перспективы. "Явления" – трактат по сферической астрономии, сохранившийся на греческом языке; он аналогичен труду "О движущейся сфере" Автолика Питана, жившего около 310 года до н.э.

Утерянные произведения

Евклиду достоверно приписываются еще четыре работы, но они были утеряны. "Коники" представляли собой четырехкнижное исследование конических сечений, которое впоследствии было превзойдено более всесторонним трудом Аполлония с тем же названием. О существовании этой работы известно главным образом из работ Паппа, который утверждает, что первые четыре книги "Коник" Аполлония во многом основаны на более ранних работах Евклида. Историк Александр Джонс подверг это утверждение сомнению из-за недостатка доказательств и отсутствия других подтверждений сообщения Паппа. "Pseudaria" (; ) — согласно Проклу в (70.1–18) — был текстом, посвященным геометрическому мышлению, написанным для того, чтобы предостеречь начинающих от распространенных логических ошибок. О его конкретном содержании известно очень мало, кроме его объема и нескольких сохранившихся фрагментов. "Поризмы" (; ) — судя по сообщениям Паппа и Прокла — вероятно, представляли собой трехкнижный трактат, содержащий около 200 теорем. Термин "поризм" в данном контексте не относится к следствию, а к "третьему типу теоремы — промежуточному между теоремой и задачей, — целью которой является выявление свойства существующей геометрической фигуры, например, нахождение центра окружности". Математик Мишель Шаль предположил, что эти ныне утраченные теоремы могли содержать материал, связанный с современными теориями секущих и проективной геометрией. О содержании "Surface Loci" практически ничего не известно, кроме предположений, основанных на названии работы. Предположения, основанные на более поздних сообщениях, позволяют предположить, что в ней обсуждались конусы и цилиндры, среди прочего.

Наследие

Евклид обычно считается наряду с Архимедом и Аполлонием Пергским одним из величайших математиков античности. Многие исследователи называют его одной из самых влиятельных фигур в истории математики. Геометрическая система, изложенная в «Началах», долгое время доминировала в этой области, однако сегодня её часто именуют «евклидовой геометрией», чтобы отличать от других неевклидовых геометрий, открытых в начале XIX века. Среди многочисленных объектов, названных в честь Евклида, – космический аппарат «Евклид» Европейского космического агентства (ESA), лунный кратер Евклид и малая планета 4354 Евклид. «Начала» часто считают после Библии самой переводимой, издаваемой и изучаемой книгой в истории западной цивилизации. Наряду с «Метафизикой» Аристотеля, «Начала» – возможно, самый успешный древнегреческий текст и являлись основным математическим учебником в средневековом арабском и латинском мире. Первое английское издание «Начал» было опубликовано в 1570 году Генри Биллингсли и Джоном Ди. Математик Оливер Бирн опубликовал известную версию «Начал» в 1847 году под названием «Первые шесть книг «Начал» Евклида, в которых цветные диаграммы и символы используются вместо букв для облегчения обучения», включавшую цветные диаграммы, призванные усилить её педагогический эффект. Давид Гильберт разработал современную аксиоматизацию «Начал».