Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Ежелгі грек математигі (өркендеген шағы 300 ж.б.д.)
Ancient Greek mathematician (fl. 300 BC)
Евклид (болжам бойынша б.д. 300 ж. шамасында) – ежелгі грек математигі, геометр және логик. "Геометрияның әкесі" саналатын ол, негізінен 19 ғасырдың басына дейін геометрияның негізін қалаған "Элементтер" трактатымен танымал. Оның жүйесі, қазір Евклид геометриясы деп аталады, бұрынғы грек математиктерінің теорияларын – Книдтің Эвдоксы, Хиостың Гиппократы, Фалес және Театеттің еңбектерін – жаңалықтармен үйлестірді. Архимед пен Пергалық Аполлониймен бірге Евклид ежелгі заманның ең ұлы математиктерінің бірі және математика тарихындағы ең ықпалды тұлғалардың бірі саналады. Евклидтің өмірі туралы мәлімет аз, көбінесе Прокл мен Александриялық Папптың көп ғасырдан кейінгі еңбектерінен алынған. Орта ғасырлық ислам математиктері оның қияли өмірбаян жазса, орта ғасырлық Византия және Ренессанс ғалымдары оны Мегаралық Евклид деп жаңылыстырған. Қазіргі таңда Евклидтің Александрияда қызмет еткені және Платон шәкірттерінен кейін, Архимедтен бұрын, шамамен 300 ж.б.д. өмір сүргені қабылданған. Евклидтің Платон академиясында оқығандығы және кейін Музейде сабақ бергендігі туралы болжам бар; ол Афинадағы Платон дәстүрін Александрия дәстүрімен байланыстырған деп есептеледі. "Элементтерде" Евклид теоремаларды аксиомалар жиынтығынан логикалық тұрғыда шығарды. Ол перспектива, коникалық қималар, сфералық геометрия, сандар теориясы және математикалық дәлдік туралы да еңбектер жазды. "Элементтерден" басқа, Евклид оптика саласындағы маңызды алғашқы еңбек – "Оптика", сондай-ақ "Деректер" мен "Құбылыстар" сияқты аз танымал еңбектердің авторы. "Сандардың бөлінісі" және "Катоптрика" еңбектерінің авторлығы күмәнді. Ол көптеген жоғалған еңбектердің авторы болған деп саналады.
Euclid ('/j//uː//k//l//ɪ//d/; ; BC) was an ancient Greek mathematician active as a geometer and logician. Considered the "father of geometry", he is chiefly known for the Elements treatise, which established the foundations of geometry that largely dominated the field until the early 19th century. His system, now referred to as Euclidean geometry, involved new innovations in combination with a synthesis of theories from earlier Greek mathematicians, including Eudoxus of Cnidus, Hippocrates of Chios, Thales and Theaetetus. With Archimedes and Apollonius of Perga, Euclid is generally considered among the greatest mathematicians of antiquity, and one of the most influential in the history of mathematics. Very little is known of Euclid's life, and most information comes from the scholars Proclus and Pappus of Alexandria many centuries later. Medieval Islamic mathematicians invented a fanciful biography, and medieval Byzantine and early Renaissance scholars mistook him for the earlier philosopher Euclid of Megara. It is now generally accepted that he spent his career in Alexandria and lived around 300 BC, after Plato's students and before Archimedes. There is some speculation that Euclid studied at the Platonic Academy and later taught at the Musaeum; he is regarded as bridging the earlier Platonic tradition in Athens with the later tradition of Alexandria. In the Elements, Euclid deduced the theorems from a small set of axioms. He also wrote works on perspective, conic sections, spherical geometry, number theory, and mathematical rigour. In addition to the Elements, Euclid wrote a central early text in the optics field, Optics, and lesser known works including Data and Phaenomena. Euclid's authorship of On Divisions of Figures and Catoptrics has been questioned. He is thought to have written many lost works.
Дәстүрлі әңгіме
Ағылшынша атауы 'Евклид' – ежелгі грек атауының ағылшын тіліне аударылған нұсқасы (Εὐκλείδης). Ол 'eu' (εὖ; 'жақсы') және 'klês' (κλῆς; 'даңқ') сөздерінен туындаған, яғни 'танымал, даңқты' деген мағынаны білдіреді. Ағылшын тілінде 'Евклид' сөзі оның ең белгілі еңбегі – 'Евклидтің элементтері' немесе оның көшірмесін білдіруі мүмкін, кейде 'геометрия' сөзімен синоним ретінде қолданылады. Көптеген ежелгі грек математиктерінің өмірі сияқты, Евклидтің өмірінің толық мәліметтері де көбінесе белгісіз. Ол негізінен сақталған төрт трактаттың авторы ретінде танылады: 'Элементтер', 'Оптика', 'Деректер', 'Феномендер', бірақ одан басқа оның өмірінен нақты ештеңе белгісіз. Дәстүрлі айтылымдар негізінен 5 ғасырдағы Проклдың 'Евклидтің элементтерінің' бірінші кітабына жазған түсіндірмесіне, сондай-ақ 4 ғасырдың басында Александриялық Папптың айтқан бірнеше әңгімелеріне сүйенеді. Проклдың сөзіне қарағанда, Евклид Платонның (б.з.д.) бірнеше ізбасарларынан кейін және математик Архимедтен (б.з.д. 287 – 212 жж.) бұрын өмір сүрген; атап айтқанда, Прокл Евклидті Птолемей I (б.з.д.) билігі кезінде өмір сүрген деп санайды. Евклидтің туған күні белгісіз; кейбір ғалымдар шамамен б.з.д. 330 немесе 325 жылдар шамасында деп есептейді, бірақ басқалары болжам жасаудан тартынады. Ол грек тегінен болуы мүмкін, бірақ оның туған жері белгісіз. Прокл Евклидтің Платондық дәстүрді ұстанғанын айтқан, бірақ бұл туралы нақты растау жоқ. Ол Платонның замандасы болмағандықтан, оның Афинадағы Платон академиясында Платонның шәкірттерімен білім алғаны жиі болжанады. Тарихшы Томас Хит бұл теорияны қолдады, Афинада көптеген қабілетті геометрлер өмір сүргенін, оның ішінде Евклидтің жұмысына сүйенгендердің көптегенін атап өтті; Сиаларос мұны жай ғана болжам деп санайды. Қалай болғанда да, Евклидтің еңбектерінің мазмұны оның Платондық геометрия дәстүрімен таныс екенін көрсетеді. Папп өзінің 'Жинағында' Аполлонийдің Евклидтің студенттерімен бірге Александрияда оқығанын айтады, бұл Евклидтің сол жерде математикалық дәстүрді құрып, жұмыс істегенін көрсетеді. Қала Ұлы Александрмен б.з.д. 331 жылы негізделген, ал Птолемей I билігі 306 жылдан бастап оған салыстырмалы түрде тұрақтылық берді, бұл Александр империясын бөлісу туралы соғыстардың хаостық кезеңінде ерекше жағдай болды. Птолемей грек мәдениетін тарату процесін бастады және көптеген құрылыстарға тапсырыс берді, білім берудің жетекші орталығы болған үлкен Музей институтын салды. Евклид Музейдің алғашқы ғалымдарының бірі болған деп болжанады. Евклидтің қайтыс болған күні белгісіз; ол шамамен б.з.д. 270 жылы қайтыс болған деп есептеледі.
The English name 'Euclid' is the anglicized version of the Ancient Greek name (Εὐκλείδης). It is derived from 'eu ' (εὖ; 'well') and 'klês' ( κλῆς; 'fame'), meaning "renowned, glorious". In English, by metonymy, 'Euclid' can mean his most well known work, Euclid's Elements, or a copy thereof, and is sometimes synonymous with 'geometry'. As with many ancient Greek mathematicians, the details of Euclid's life are mostly unknown. He is accepted as the author of four mostly extant treatises—the Elements, Optics, Data, Phaenomena—but besides this, there is nothing known for certain of him. The traditional narrative mainly follows the 5th century AD account by Proclus in his Commentary on the First Book of Euclid's Elements, as well as a few anecdotes from Pappus of Alexandria in the early 4th century. According to Proclus, Euclid lived shortly after several of Plato's ( BC) followers and before the mathematician Archimedes (c. 287 – c. 212 BC); specifically, Proclus placed Euclid during the rule of Ptolemy I ( BC). Euclid's birthdate is unknown; some scholars estimate around 330 or 325 BC, but others refrain from speculating. It is presumed that he was of Greek descent, but his birthplace is unknown. Proclus held that Euclid followed the Platonic tradition, but there is no definitive confirmation for this. It is unlikely he was contemporary with Plato, so it is often presumed that he was educated by Plato's disciples at the Platonic Academy in Athens. Historian Thomas Heath supported this theory, noting that most capable geometers lived in Athens, including many of those whose work Euclid built on; Sialaros considers this a mere conjecture. In any event, the contents of Euclid's work demonstrate familiarity with the Platonic geometry tradition. In his Collection, Pappus mentions that Apollonius studied with Euclid's students in Alexandria, and this has been taken to imply that Euclid worked and founded a mathematical tradition there. The city was founded by Alexander the Great in 331 BC, and the rule of Ptolemy I from 306 BC onwards gave it a stability which was relatively unique amid the chaotic wars over dividing Alexander's empire. Ptolemy began a process of hellenization and commissioned numerous constructions, building the massive Musaeum institution, which was a leading center of education. Euclid is speculated to have been among the Musaeum's first scholars. Euclid's date of death is unknown; it has been speculated that he died c. 270 BC.
Тұлға және тарихилығы
Евклидті әдетте «Александриялық Евклид» деп атайды, оны ертерек философ Евклид Мегаралықтан, Сократтың шәкірті, Платонның диалогтарында кездесетін және тарихи түрде онымен шатастырылған адамнан ажырату үшін. 1 ғасырдың римдік анекдоттар жинақтаушысы Валериус Максимус Евклидтің есімін Евдоксқа (б.з.д. 4 ғасыр) қателікпен ауыстырды, өйткені Платон оған текшені қалай екі еселендіру керегін сұраған математикті жіберген. Бұл шамамен бір ғасыр бұрын математикалық Евклид туралы айтылғандықтан, Евклид ортағасырлық Византиялық дереккөздерде (қазір жоғалған) Мегаралық Евклидпен шатастырылған, нәтижесінде математик Евклидке екеуінің де өмірбаянының егжей-тегжейлі сипаттамалары жатқызылды және ол Мегаренсис деп сипатталды. Византиялық ғалым Теодор Метохит екеуінің де есімдерін біріктірді, сондай-ақ 1482 жылы Эрхард Ратдольд басып шығарған Кампанус Новаралықтың «Элементтер» латын тіліндегі аудармасының алғы сөзінде де осы шатасу кездеседі. Математик Евклид туралы барлық қолда бар биографиялық үзінділерді 1505 жылғы «Элементтер» аудармасының алғы сөзіне қосып, кейінгі басылымдар осы идентификацияны жалғастырды. Кейінірек, қайта өрлеу дәуірінің ғалымдары, әсіресе Питер Рамус, бұл талапты қайта қарастырып, хронологиядағы қателіктер мен ерте дереккөздердегі қайшылықтар арқылы оның жалған екенін дәлелдеді. Ортағасырлық араб дереккөздері Евклидтің өмірі туралы көптеген ақпарат береді, бірақ оларды тексеру мүмкін емес. Көптеген ғалымдар оларды күмәнді деп санайды; әсіресе Хит, бұл құрметке бөленген математик пен араб әлемі арасындағы байланысты нығайту үшін жасалған ойдан шығарылғандық екенін айтады. Евклидке қатысты көптеген анекдоттық әңгімелер де бар, олардың барлығының тарихи негізі белгісіз, және олар оны «мейірімді және жайлы қарт адам» ретінде бейнелейді. Олардың ең танымал мысалы – Проклдің Птолемейдің Евклидтен геометрияны оқудан гөрі жылдам жолы бар ма деп сұрауы туралы әңгімесі, Евклид оған «геометрияда патшалық жол жоқ» деп жауап берді. Бұл анекдот күмәнді, өйткені Стобейден алынған Менахм мен Ұлы Александрдың арасындағы өте ұқсас оқиға бар. Екеуі де біздің заманымыздың 5 ғасырында жазылған, ешқайсысының да бастапқы көзі көрсетілмеген және ешқайсысы да ежелгі грек әдебиетінде кездеспейді. Евклидтің қызметіне қатысты нақты мерзімді анықтауға қазіргі заманғы сілтемелердің жоқтығы кедерілді. Евклидке ең ерте сілтеме Аполлонийдің «Коникаларға» (б.з.д. 2 ғасырдың басында) жазған кіріспе хатында кездеседі: «Коникалардың үшінші кітабында қатты локустардың синтезі мен шешімдерінің санын анықтау үшін пайдалы көптеген таңғажайып теоремалар бар. Олардың көпшілігі, ең жақсылары, жаңалықтар. Біз оларды тапқан кезде Евклид үш және төрт түзуде локусты синтездемегенін, тек оның кездейсоқ бөлігін жасағанын және тіпті оны да сәтті жасамағанын түсіндік». «Элементтер» б.з.д. 3 ғасырда кем дегенде жартылай таралған болуы мүмкін, өйткені Архимед пен Аполлоний оның бірнеше ұсыныстарын берілген деп санайды; алайда Архимед «Элементтерде» кездеспейтін пропорциялар теориясының ескі нұсқасын қолданады. «Элементтерге» кіретін материалдардың ең көне физикалық көшірмелері, шамамен б.з. 100 жылына жататын папирус фрагменттері, Римнің Мысырындағы Оксиринхтен табылған ежелгі қоқыс үйіндісінен табылған. «Элементтерге» ең көне тікелей сілтемелер біздің заманымыздың 2 ғасырына дейін, Гален мен Александр Афродизийдің еңбектерінде кездеседі; бұл кезде ол стандартты мектеп оқулығы болды. Кейбір ежелгі грек математиктері Евклидті атымен атайды, бірақ оны әдетте «ὁ στοιχειώτης» («Элементтердің авторы») деп атайды. Орта ғасырларда кейбір ғалымдар Евклид тарихи тұлға емес, оның есімі грек математикалық терминдерінің бұрмалануынан туындады деп мәлімдеді.
Euclid is often referred to as 'Euclid of Alexandria' to differentiate him from the earlier philosopher Euclid of Megara, a pupil of Socrates included in dialogues of Plato with whom he was historically conflated. Valerius Maximus, the 1st century AD Roman compiler of anecdotes, mistakenly substituted Euclid's name for Eudoxus (4th century BC) as the mathematician to whom Plato sent those asking how to double the cube. Perhaps on the basis of this mention of a mathematical Euclid roughly a century early, Euclid became mixed up with Euclid of Megara in medieval Byzantine sources (now lost), eventually leading Euclid the mathematician to be ascribed details of both men's biographies and described as Megarensis The Byzantine scholar Theodore Metochites explicitly conflated the two Euclids, as did printer Erhard Ratdolt's 1482 editio princeps of Campanus of Novara's Latin translation of the Elements. After the mathematician de appended most of the extant biographical fragments about either Euclid to the preface of his 1505 translation of the Elements, subsequent publications passed on this identification. Later Renaissance scholars, particularly Peter Ramus, reevaluated this claim, proving it false via issues in chronology and contradiction in early sources. Medieval Arabic sources give vast amounts of information concerning Euclid's life, but are completely unverifiable. Most scholars consider them of dubious authenticity; Heath in particular contends that the fictionalization was done to strengthen the connection between a revered mathematician and the Arab world. There are also numerous anecdotal stories concerning to Euclid, all of uncertain historicity, which "picture him as a kindly and gentle old man". The best known of these is Proclus' story about Ptolemy asking Euclid if there was a quicker path to learning geometry than reading his Elements, which Euclid replied with "there is no royal road to geometry". This anecdote is questionable since a very similar interaction between Menaechmus and Alexander the Great is recorded from Stobaeus. Both accounts were written in the 5th century AD, neither indicates its source, and neither appears in ancient Greek literature. Any firm dating of Euclid's activity is called into question by a lack of contemporary references. The earliest original reference to Euclid is in Apollonius' prefatory letter to the Conics (early 2nd century BC): "The third book of the Conics contains many astonishing theorems that are useful for both the syntheses and the determinations of number of solutions of solid loci. Most of these, and the finest of them, are novel. And when we discovered them we realized that Euclid had not made the synthesis of the locus on three and four lines but only an accidental fragment of it, and even that was not felicitously done." The Elements is speculated to have been at least partly in circulation by the 3rd century BC, as Archimedes and Apollonius take several of its propositions for granted; however, Archimedes employs an older variant of the theory of proportions than the one found in the Elements. The oldest physical copies of material included in the Elements, dating from roughly 100 AD, can be found on papyrus fragments unearthed in an ancient rubbish heap from Oxyrhynchus, Roman Egypt. The oldest extant direct citations to the Elements in works whose dates are firmly known are not until the 2nd century AD, by Galen and Alexander of Aphrodisias; by this time it was a standard school text. Some ancient Greek mathematicians mention Euclid by name, but he is usually referred to as "ὁ στοιχειώτης" ("the author of Elements"). In the Middle Ages, some scholars contended Euclid was not a historical personage and that his name arose from a corruption of Greek mathematical terms.
Элементтер
Евклид өзінің он үш кітаптан тұратын "Элементтер" (Wikt:στοιχεία (Στοιχεῖα]]); Stoicheia) трактатымен ең жақсы танымал, оны оның шедеврi деп есептейді. Оның мазмұнының көп бөлігі Эвдокс, Хиос Гиппократы, Фалес және Театет сияқты ертеректегі математиктерге қатысты, ал басқа теоремаларды Платон мен Аристотель есімдерімен атады. Евклидтің еңбектерін оның ізашарларының еңбектерінен ажырату қиын, әсіресе "Элементтер" ертеректегі грек математикасының көп бөлігін жойды және оны ескіргендіктен, қазір жоғалған. Классицист Маркус Аспер "Евклидтің жетістігі қабылданған математикалық білімді логикалық тәртіпке жинап, олқылықтарды толтыру үшін жаңа дәлелдемелер қосудан тұрады" деген қорытындыға келді, ал математик Серафина Куомо оны "қорытындылар қоймасы" деп сипаттады. Осыған қарамастан, Сиаларос "Элементтердің таңғаларлық тұйық құрылымы жай редактордың шегінен асып түсетін авторлық бақылауды көрсетеді" деп мәлімдейді. "Элементтер" кейде ойланғандай тек геометрияны ғана талқыламайды. Ол дәстүрлі түрде үш тақырыпқа бөлінеді: жазық геометрия (1–6 кітаптар), негізгі сандар теориясы (7–10 кітаптар) және кеңістіктік геометрия (11–13 кітаптар) – бірақ 5-ші кітап (пропорциялар туралы) және 10-шы кітап (иррационалдық сызықтар туралы) осы схемаға толық сәйкес келмейді. Мәтіннің ядросы – бүкіл мәтінге шашыраңқы орналасқан теоремалар. Аристотельдің терминологиясын пайдалану арқылы, оларды жалпы екі санатқа бөлуге болады: "бірінші принциптер" және "екінші принциптер". Бірінші топқа "анықтама" (немесе ὁρισμός), "постулат" (αἴτημα) немесе "ортақ түсінік" (κοινὴ ἔννοια) деп аталатын мәлімдемелер кіреді; тек бірінші кітапта кейін аксиомалар деп аталған постулаттар мен ортақ түсініктер бар. Екінші топ математикалық дәлелдер мен схемалармен бірге ұсыныстардан тұрады. Евклидтің "Элементтерді" оқулық ретінде жазуды жоспарлағаны белгісіз, бірақ оның ұсыну әдісі оны табиғи түрде оқулыққа айналдырады. Жалпы алғанда, авторлық стиль жалпы және жеке емес болып қалады.
Euclid is best known for his thirteen book treatise, the Elements (Wikt:στοιχεία (Στοιχεῖα]]); Stoicheia), considered his magnum opus. Much of its content originates from earlier mathematicians, including Eudoxus, Hippocrates of Chios, Thales and Theaetetus, while other theorems are mentioned by Plato and Aristotle. It is difficult to differentiate the work of Euclid from that of his predecessors, especially because the Elements essentially superseded much earlier and now lost Greek mathematics. The classicist Markus Asper concludes that "apparently Euclid's achievement consists of assembling accepted mathematical knowledge into a cogent order and adding new proofs to fill in the gaps" and the mathematician Serafina Cuomo described it as a "reservoir of results". Despite this, Sialaros furthers that "the remarkably tight structure of the Elements reveals authorial control beyond the limits of a mere editor". The Elements does not exclusively discuss geometry as is sometimes believed. It is traditionally divided into three topics: plane geometry (books 1–6), basic number theory (books 7–10) and solid geometry (books 11–13)—though book 5 (on proportions) and 10 (on irrational lines) do not exactly fit this scheme. The heart of the text is the theorems scattered throughout. Using Aristotle's terminology, these may be generally separated into two categories: "first principles" and "second principles". The first group includes statements labeled as a "definition" ( or ὁρισμός), "postulate" (αἴτημα), or a "common notion" (κοινὴ ἔννοια); only the first book includes postulates—later known as axioms—and common notions. The second group consists of propositions, presented alongside mathematical proofs and diagrams. It is unknown if Euclid intended the Elements as a textbook, but its method of presentation makes it a natural fit. As a whole, the authorial voice remains general and impersonal.
Мазмұны
Евклидтің постулаттары мен жалпы түсініктері. (Сан) Постулаттар: Келесілер тұжырымдалсын: 1. Кез келген нүктеден кез келген нүктеге дейін түзу сызық салу. 2. Шекті түзу сызықты түзу бойымен үздіксіз созу. 3. Кез келген орталықтан және қашықтықтан шеңбер сызу. 4. Барлық тік бұрыштар бір-біріне тең. 5. Егер екі түзу сызыққа түсетін түзу сызық бір жақтағы ішкі бұрыштарының қосындысы екі тік бұрыштан кем болса, онда екі түзу сызық, шексіз созылғанда, сол жақта, бұрыштардың екі тік бұрыштан кем болатын жағында қиылысады. (Сан) Жалпы түсініктері: 1. Бір нәрсеге тең нәрселер бір-біріне тең болады. 2. Теңдерге теңдер қосылса, нәтижесіндегілер тең болады. 3. Теңдерден теңдер алынса, қалдықтар тең болады. 4. Бір-бірімен толық сәйкес келетін нәрселер тең болады. 5. Бүтін бөліктерден үлкен.
+ Euclid's postulates and common notions No. (Number) Postulates Let the following be postulated: 1 To draw a straight line from any point to any point 2 To produce a finite straight line continuously in a straight line 3 To describe a circle with any centre and distance 4 That all right angles are equal to one another 5 That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles No. (Number) Common notions 1 Things which are equal to the same thing are also equal to one another 2 If equals be added to equals, the wholes are equal 3 If equals be subtracted from equals, the remainders are equal 4 Things which coincide with one another are equal to one another 5 The whole is greater than the part
«Элементтер» кітабының бірінші кітабы бүкіл мәтін үшін негіз болып табылады. Ол сызықтар, бұрыштар және әртүрлі дұрыс көпбұрыштар сияқты негізгі геометриялық ұғымдар үшін 20 анықтамадан басталады. Содан кейін Евклид 10 болжамды ұсынады (оң жақтағы кестеге қараңыз), олар бес постулатқа (аксиомаларға) және бес жалпы түсінікке топтастырылған. Бұл болжамдар әрбір келесі теореманың логикалық негізін қамтамасыз етуге арналған, яғни аксиоматикалық жүйе ретінде қызмет етеді. Жалпы түсініктері шамаларды салыстыруға ғана қатысты. 1-4 постулаттар салыстырмалы түрде қарапайым болса, 5-шісі параллель постулат ретінде белгілі және ерекше атақты. Бірінші кітапта 48 теорема бар, оларды жазықтық геометриясының негізгі теоремалары мен құрылыстары және үшбұрыштардың сәйкестігі (1–26); параллель сызықтар (27–34); үшбұрыштар мен параллелограмдардың ауданы (35–45); және Пифагор теоремасы (46–48) туралы теоремаларға бөлуге болады. Соңғысы Пифагор теоремасының ең ерте сақталған дәлелін қамтиды, оны Сиаларос «таңғаларлық нәзік» деп сипаттады. Екінші кітап дәстүрлі түрде «геометриялық алгебраға» қатысты деп түсініледі, бірақ бұл түсіндірме 1970 жылдардан бері қызу талқылауларға түсіп отыр; сыншылар бұл сипаттаманы анахронизм деп санайды, өйткені тіпті жаңа ғана пайда бола бастаған алгебраның негізі де көптеген ғасырлар өткен соң қалыптасқан. Екінші кітапта көбінесе әртүрлі геометриялық пішіндерге сүйемелдейтін алгебралық теоремалар келтіріледі. Ол тіктөртбұрыштар мен квадраттардың ауданына назар аударады (квадратураны қараңыз) және косинустар заңының геометриялық алғышартына дейін жетелейді. Үшінші кітап шеңберлерге, ал төртінші кітап тұрақты көпбұрыштарға, әсіресе бесбұрышқа арналған. Бесінші кітап жұмыстың ең маңызды бөлімдерінің бірі болып табылады және әдетте «пропорцияның жалпы теориясы» деп аталатын нәрсені ұсынады. Алтыншы кітап «пропорциялар теориясын» жазықтық геометрия аясында қолданады. Ол негізінен бірінші теоремадан тұрады: «Бірдей биіктікте орналасқан үшбұрыштар мен параллелограмдар өздерінің негіздеріне пропорционалды». Жетінші кітаптан бастап математик «Евклид қайтадан бастайды. Бұрынғы кітаптардан ештеңе қолданылмайды» деп белгілейді. Сандар теориясы жетінші-он кітаптарда қамтылған, біріншісі жұптық, жай сандар және басқа да арифметикалық ұғымдар үшін 22 анықтамадан басталады. Жетінші кітапта екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу әдісі – Евклид алгоритмі келтіріледі. Сегізінші кітапта геометриялық прогрессиялар қарастырылса, тоғызыншы кітапта қазір Евклид теоремасы деп аталатын, жай сандардың шексіз көп екендігі туралы теорема бар. «Элементтер» кітабының он кітабы ең үлкені және күрделісі болып табылады, ол шамалар контекстінде иррационалды сандарды қарастырады. Соңғы үш кітапта (11–13) негізінен қатты геометрия туралы айтылады. Он бірінші кітапта 37 анықтама берілген, олар келесі екі кітапқа контекст береді. Оның негізгі сипаты бірінші кітапқа ұқсас болғанымен, соңғысынан айырмашылығы, онда аксиоматикалық жүйе немесе постулаттар жоқ. Он бірінші кітаптың үш бөліміне қатты геометрия (1–19), қатты бұрыштар (20–23) және параллелепипедтік қатты денелер (24–37) кіреді.
Book 1 of the Elements is foundational for the entire text. It begins with a series of 20 definitions for basic geometric concepts such as lines, angles and various regular polygons. Euclid then presents 10 assumptions (see table, right), grouped into five postulates (axioms) and five common notions. These assumptions are intended to provide the logical basis for every subsequent theorem, i. e. serve as an axiomatic system. The common notions exclusively concern the comparison of magnitudes. While postulates 1 through 4 are relatively straightforward, the 5th is known as the parallel postulate and particularly famous. Book 1 also includes 48 propositions, which can be loosely divided into those concerning basic theorems and constructions of plane geometry and triangle congruence (1–26); parallel lines (27–34); the area of triangles and parallelograms (35–45); and the Pythagorean theorem (46–48). The last of these includes the earliest surviving proof of the Pythagorean theorem, described by Sialaros as "remarkably delicate". Book 2 is traditionally understood as concerning "geometric algebra", though this interpretation has been heavily debated since the 1970s; critics describe the characterization as anachronistic, since the foundations of even nascent algebra occurred many centuries later. The second book has a more focused scope and mostly provides algebraic theorems to accompany various geometric shapes. It focuses on the area of rectangles and squares (see Quadrature), and leads up to a geometric precursor of the law of cosines. Book 3 focuses on circles, while the 4th discusses regular polygons, especially the pentagon. Book 5 is among the work's most important sections and presents what is usually termed as the "general theory of proportion". Book 6 utilizes the "theory of ratios" in the context of plane geometry. It is built almost entirely of its first proposition: "Triangles and parallelograms which are under the same height are to one another as their bases". From Book 7 onwards, the mathematician de notes that "Euclid starts afresh. Nothing from the preceding books is used". Number theory is covered by books 7 to 10, the former beginning with a set of 22 definitions for parity, prime numbers and other arithmetic related concepts. Book 7 includes the Euclidean algorithm, a method for finding the greatest common divisor of two numbers. The 8th book discusses geometric progressions, while book 9 includes the proposition, now called Euclid's theorem, that there are infinitely many prime numbers. Of the Elements, book 10 is by far the largest and most complex, dealing with irrational numbers in the context of magnitudes. The final three books (11–13) primarily discuss solid geometry. By introducing a list of 37 definitions, Book 11 contextualizes the next two. Although its foundational character resembles Book 1, unlike the latter it features no axiomatic system or postulates. The three sections of Book 11 include content on solid geometry (1–19), solid angles (20–23) and parallelepipedal solids (24–37).
Басқа жұмыстар
Элементтерден басқа, Евклидтің кем дегенде бес еңбегі бүгінгі күнге дейін жетіп келген. Олар Элементтер сияқты логикалық құрылымды, анықтамалар мен дәлелденген теоремаларды қамтиды. Катоптрика айналардың математикалық теориясын, әсіресе жазық және дөңгелек ойыс айналардағы бейнелерді зерттейді, бірақ авторлығына қатысты күмәндер туындайды. "Данные" геометриялық есептерде "белгілі" ақпараттың мәні мен салдарына арналған шағын мәтін. "Бөлулер туралы" еңбегі араб тіліндегі аудармада ғана толық сақталмаған, геометриялық фигураларды екі немесе одан көп тең бөлікке немесе белгілі пропорцияда бөлу мәселелерін қарастырады. Онда отыз алты теорема бар және ол Аполлонийдің "Коникалық қисықтар" еңбегіне ұқсас. "Оптика" – перспектива туралы ең алғашқы грек трактаты. Онда геометриялық оптика және перспективаның негізгі қағидаларына кіріспе берілген. "Құбылыстар" сфералық астрономияға арналған трактат, грек тілінде сақталған; ол шамамен б.з.д. 310 жылы өркендеген Питандық Автоликустың "Қозғалыстағы сфера" еңбегімен ұқсас.
In addition to the Elements, at least five works of Euclid have survived to the present day. They follow the same logical structure as Elements, with definitions and proved propositions. Catoptrics concerns the mathematical theory of mirrors, particularly the images formed in plane and spherical concave mirrors, though the attribution is sometimes questioned. The Data , is a somewhat short text which deals with the nature and implications of "given" information in geometrical problems. On Divisions survives only partially in Arabic translation, and concerns the division of geometrical figures into two or more equal parts or into parts in given ratios. It includes thirty six propositions and is similar to Apollonius' Conics. The Optics is the earliest surviving Greek treatise on perspective. It includes an introductory discussion of geometrical optics and basic rules of perspective. The Phaenomena is a treatise on spherical astronomy, survives in Greek; it is similar to On the Moving Sphere by Autolycus of Pitane, who flourished around 310 BC.
Жоғалған шығармалар
Евклидке жатқызылатын тағы төрт еңбек бар, бірақ олардың бәрі жоғалып кеткен. "Коникалар" – конустық қималарға арналған төрт кітаптан тұратын зерттеу, кейіннен Аполлонийдің осы аттас, көбірек қамтитын еңбегімен ығыстырылды. Бұл еңбектің бар екені негізінен Папптан белгілі, ол Аполлонийдің "Коникаларының" алғашқы төрт кітабы Евклидтің бұрынғы еңбегіне негізделгенін айтады. Тарихшы Александр Джонс бұл мәлімдемеге күмән келтірді, себебі дәлелдер жеткіліксіз және Папптың есебін растайтын басқа мәліметтер жоқ. "Псевдария" (; ) – Проклдың (70.1–18) айтуынша, геометриялық ой-қиялына қатысты мәтін, геометрияны жаңа бастағандарға жиі кездесетін қателіктерден сақтануға кеңес беру үшін жазылған. Оның мазмұны туралы оның көлемінен және сақталған бірнеше жолдарынан басқа көп нәрсе белгілі емес. "Поризмдер" (; ) – Папп пен Проклдың мәліметтеріне сүйенсек, шамамен 200 теоремадан тұратын үш кітаптан құралған трактат болған. Бұл контексте "поризм" термині корулерийді білдірмейді, ол "теорема мен проблеманың арасындағы үшінші түрдегі теорема" – геометриялық нысанның бір ерекшелігін анықтауға бағытталған, мысалы, шеңбердің центрін табу. Математик Мишель Шаслес бұл қазір жоғалған теоремалардың ішінде трансверсальдар мен проективті геометрияның қазіргі заманғы теорияларына қатысты мазмұн болғанын болжады. "Surface Loci" еңбегінің мазмұны оның атын негізге алған болжамдардан басқа белгісіз. Кейінгі деректерге сүйенсек, онда конус және цилиндрлер сияқты тақырыптар талқыланған болуы мүмкін.
Four other works are credibly attributed to Euclid, but have been lost. The Conics was a four book survey on conic sections, which was later superseded by Apollonius' more comprehensive treatment of the same name. The work's existence is known primarily from Pappus, who asserts that the first four books of Apollonius' Conics are largely based on Euclid's earlier work. Doubt has been cast on this assertion by the historian lt=Alexander Jones, owing to sparse evidence and no other corroboration of Pappus' account. The Pseudaria (; ), was—according to Proclus in (70.1–18)—a text in geometrical reasoning, written to advise beginners in avoiding common fallacies. Very little is known of its specific contents aside from its scope and a few extant lines. The Porisms (; ) was, based on accounts from Pappus and Proclus, probably a three book treatise with approximately 200 propositions. The term 'porism' in this context does not refer to a corollary, but to "a third type of proposition—an intermediate between a theorem and a problem—the aim of which is to discover a feature of an existing geometrical entity, for example, to find the centre of a circle". The mathematician Michel Chasles speculated that these now lost propositions included content related to the modern theories of transversals and projective geometry. The Surface Loci is of virtually unknown contents, aside from speculation based on the work's title. Conjecture based on later accounts has suggested it discussed cones and cylinders, among other subjects.
Мұра
Евклид, Архимед және Пергалық Аполлониймен бірге, ежелгі дәуірдің ең ұлы математиктерінің бірі саналады. Көптеген зерттеушілер оны математика тарихындағы ең ықпалды тұлғалардың бірі деп атайды. "Элементтер" еңбегімен құрылған геометриялық жүйе ұзақ жылдар бойы осы салада басым болды; алайда, бүгінде бұл жүйе 19-шы ғасырдың басында ашылған басқа евклидтік емес геометриялардан ажырату үшін көбінесе "Евклидтік геометрия" деп аталады. Евклидтің құрметіне Еуропалық ғарыш агенттігінің (ESA) "Евклид" ғарыш кемесі, Ай кратері Евклид және 4354 Евклид астероиді сияқты атаулар берілген. "Элементтер" еңбегі Батыс әлемінің тарихында Киелі кітаптан кейін ең көп аударылған, жарияланған және зерттелген кітаптардың бірі болып есептеледі. Аристотельдің "Метафизикасымен" бірге "Элементтер" көне грек тіліндегі ең табысты мәтін болып табылады және орта ғасырлық араб және латын әлемдеріндегі негізгі математикалық оқулық ретінде пайдаланылды. "Элементтер" еңбегінің алғашқы ағылшын тіліндегі басылымын 1570 жылы Генри Биллингсли мен Джон Ди жариялады. Математик Оливер Бёрн 1847 жылы "Евклидтің элементтерінің алғашқы алты кітабы" деген атаумен, оқушылардың түсінуін жеңілдету үшін әріптердің орнына түрлі түсті диаграммалар мен символдар қолданылған, педагогикалық тиімділігін арттыру мақсатында түсті суреттер қосылған белгілі бір нұсқасын жариялады. Дэвид Гилберт "Элементтер" еңбегінің қазіргі заманғы аксиоматизациясын жасаған автор болып табылады.
Euclid is generally considered with Archimedes and Apollonius of Perga as among the greatest mathematicians of antiquity. Many commentators cite him as one of the most influential figures in the history of mathematics. The geometrical system established by the Elements long dominated the field; however, today that system is often referred to as 'Euclidean geometry' to distinguish it from other non Euclidean geometries discovered in the early 19th century. Among Euclid's many namesakes are the European Space Agency's (ESA) Euclid spacecraft, the lunar crater Euclides, and the minor planet 4354 Euclides. The Elements is often considered after the Bible as the most frequently translated, published, and studied book in the Western World's history. With Aristotle's Metaphysics, the Elements is perhaps the most successful ancient Greek text, and was the dominant mathematical textbook in the Medieval Arab and Latin worlds. The first English edition of the Elements was published in 1570 by Henry Billingsley and John Dee. The mathematician Oliver Byrne published a well known version of the Elements in 1847 entitled The First Six Books of the Elements of Euclid in Which Coloured Diagrams and Symbols Are Used Instead of Letters for the Greater Ease of Learners, which included colored diagrams intended to increase its pedagogical effect. David Hilbert authored a modern axiomatization of the Elements.