Введение

Гармонические функции как решения уравнения Лапласа

В математике и математической физике теория потенциала — это изучение гармонических функций. Термин "теория потенциала" возник в физике XIX века, когда стало понятно, что две фундаментальные силы природы, известные в то время — гравитация и электростатическая сила, — могут быть смоделированы с использованием функций, называемых гравитационным потенциалом и электростатическим потенциалом, обе из которых удовлетворяют уравнению Пуассона, а в вакууме — уравнению Лапласа. Существует значительное пересечение между теорией потенциала и теорией уравнения Пуассона, настолько, что провести чёткое различие между этими двумя областями невозможно. Разница заключается скорее в акценте, чем в предмете изучения, и основывается на следующем: теория потенциала фокусируется на свойствах функций, в то время как теория уравнения Пуассона — на свойствах самого уравнения. Например, результат о сингулярностях гармонических функций будет отнесён к теории потенциала, а результат о зависимости решения от граничных условий — к теории уравнения Лапласа. Это не является строгим разграничением, и на практике наблюдается значительное взаимопроникновение этих областей, когда методы и результаты из одной используются в другой. Современная теория потенциала также тесно связана с теорией вероятностей и теорией цепей Маркова. В непрерывном случае она тесно связана с аналитической теорией. В случае пространства конечных состояний эту связь можно установить, введя электрическую сеть в пространстве состояний, где сопротивление между точками обратно пропорционально вероятностям перехода, а плотности пропорциональны потенциалам. Даже в конечном случае аналог лапласиана в теории потенциала обладает собственным принципом максимума, принципом единственности, принципом равновесия и другими подобными принципами.

Симметрия

Полезной отправной точкой и организующим принципом в изучении гармонических функций является рассмотрение симметрий уравнения Лапласа. Хотя это и не симметрия в обычном смысле этого термина, мы можем начать с замечания о том, что уравнение Лапласа является линейным. Это означает, что фундаментальным объектом изучения в теории потенциала является линейное пространство функций. Это наблюдение окажется особенно важным, когда мы рассмотрим подходы, основанные на пространствах функций, в более позднем разделе. Что касается симметрии в обычном смысле этого термина, то мы можем начать с теоремы о том, что симметрии уравнения Лапласа в *n* измерениях точно соответствуют конформным симметриям *n*-мерного евклидова пространства. Этот факт имеет несколько следствий. Во-первых, можно рассматривать гармонические функции, преобразующиеся по неприводимым представлениям конформной группы или ее подгрупп (таких как группа вращений или сдвигов). Действуя таким образом, можно систематически получать решения уравнения Лапласа, возникающие при разделении переменных, например, сферические гармоники и ряды Фурье. Путем взятия линейных суперпозиций этих решений можно получить большие классы гармонических функций, которые, при подходящих топологиях, оказываются плотными в пространстве всех гармонических функций. Во-вторых, можно использовать конформную симметрию для понимания таких классических приемов и методов генерации гармонических функций, как преобразование Кельвина и метод образов. В-третьих, можно использовать конформные преобразования для отображения гармонических функций из одной области в гармонические функции в другой области. Наиболее распространенным примером такой конструкции является установление связи между гармоническими функциями на диске и гармоническими функциями на полуплоскости. В-четвертых, можно использовать конформную симметрию для расширения гармонических функций на гармонические функции на конформно плоских римановых многообразиях. Возможно, самым простым таким расширением является рассмотрение гармонической функции, определенной на всем Rn (за исключением, возможно, дискретного множества сингулярных точек), как гармонической функции на *n*-мерной сфере. Могут возникать и более сложные ситуации. Например, можно получить аналог теории поверхностей Римана в большем числе измерений, выражая многозначную гармоническую функцию как однозначную функцию на разветвленном покрытии Rn, или рассматривать гармонические функции, инвариантные относительно дискретной подгруппы конформной группы, как функции на многосвязном многообразии или орбифолде.

Двумерность

Из того факта, что группа конформных преобразований бесконечномерна в двух измерениях и конечномерна в более чем двух измерениях, можно заключить, что потенциальная теория в двух измерениях отличается от потенциальной теории в других измерениях. Это верно, и, действительно, когда становится ясно, что любая двухмерная гармоническая функция является вещественной частью комплексно-аналитической функции, становится очевидным, что предмет двухмерной потенциальной теории по существу совпадает с комплексным анализом. Поэтому, говоря о потенциальной теории, основное внимание уделяется теоремам, справедливым в трех и более измерениях. В этой связи удивительным является тот факт, что многие результаты и понятия, первоначально открытые в комплексном анализе (такие как теорема Шварца, теорема Мореры, теорема Вейерштрасса — Казорати, ряд Лорана и классификация особенностей на устранимые, полюса и существенные особенности), обобщаются на результаты о гармонических функциях в любом измерении. Рассматривая, какие теоремы комплексного анализа являются частными случаями теорем потенциальной теории в любом измерении, можно понять, что именно является специфическим для комплексного анализа в двух измерениях, а что представляет собой просто двухмерное проявление более общих результатов.

Местное поведение

Важной темой в теории потенциала является изучение локального поведения гармонических функций. Пожалуй, наиболее фундаментальной теоремой о локальном поведении является теорема о регулярности уравнения Лапласа, утверждающая, что гармонические функции аналитичны. Существуют результаты, описывающие локальную структуру уровневых множеств гармонических функций. Есть теорема Бошера, которая характеризует поведение изолированных сингулярностей положительных гармонических функций. Как было упомянуто в предыдущем разделе, можно классифицировать изолированные сингулярности гармонических функций как устранимые сингулярности, полюса и существенные сингулярности.

Неравенства

Плодотворным подходом к изучению гармонических функций является рассмотрение неравенств, которым они удовлетворяют. Вероятно, наиболее фундаментальным из таких неравенств, из которого можно вывести большинство других, является принцип максимума. Другим важным результатом является теорема Лиувилля, утверждающая, что единственными ограниченными гармоническими функциями, определенными на всей области Rn, являются, по сути, постоянные функции. Помимо этих основных неравенств, существует неравенство Харнака, которое гласит, что положительные гармонические функции на ограниченных областях приблизительно постоянны. Важным применением этих неравенств является доказательство сходимости семейств гармонических или субгармонических функций, см. теорему Харнака. Эти теоремы о сходимости используются для доказательства существования гармонических функций с заданными свойствами.

Пространства гармонических функций

Поскольку уравнение Лапласа линейно, множество гармонических функций, определенных на заданной области, фактически является векторным пространством. Определяя подходящие нормы и/или внутренние произведения, можно построить множества гармонических функций, образующие пространства Гильберта или Банаха. Таким образом, получаются пространства Харди, Блоха, Бергмана и Соболева.