Нотация Войгта: Представление симметричных тензоров.
Voigt notation
Обозначение Войгта в математике: компактное представление симметричных тензоров. Узнайте о вариантах (Мандель, Кельвин, Най) и применении в разных областях.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Математическая концепция
Mathematical Concept
В математике, нотация Войга или форма Войга в многолинейной алгебре – это способ представления симметричного тензора путем понижения его ранга. Существует несколько вариантов и связанных с ними названий для этой идеи: нотация Манделя, нотация Манделя–Войга и нотация Най. Нотация Кельвина – это возрождение Хельбигом старых идей лорда Кельвина. Различия заключаются в определенных весах, присваиваемых выбранным элементам тензора. Номенклатура может варьироваться в зависимости от принятых традиций в области применения. Например, симметричный тензор 2×2 X имеет только три различных элемента: два на диагонали и один вне диагонали. Таким образом, его можно представить в виде вектора.
In mathematics, Voigt notation or Voigt form in multilinear algebra is a way to represent a symmetric tensor by reducing its order. There are a few variants and associated names for this idea: Mandel notation, Mandel–Voigt notation and Nye notation are others found. Kelvin notation is a revival by Helbig of old ideas of Lord Kelvin. The differences here lie in certain weights attached to the selected entries of the tensor. Nomenclature may vary according to what is traditional in the field of application. For example, a 2×2 symmetric tensor X has only three distinct elements, the two on the diagonal and the other being off diagonal. Thus it can be expressed as the vector
В качестве другого примера:
As another example:
Тензор напряжений (в матричной форме) задается как
The stress tensor (in matrix notation) is given as
В нотации Войга он упрощается до 6-мерного вектора:
In Voigt notation it is simplified to a 6 dimensional vector:
Тензор деформаций, по своей природе схожий с тензором напряжений – оба являются симметричными тензорами второго порядка – задается в матричной форме как
The strain tensor, similar in nature to the stress tensor—both are symmetric second order tensors , is given in matrix form as
Его представление в нотации Войга:
Its representation in Voigt notation is
где , и – инженерные деформации сдвига. Преимущество использования различных представлений для напряжений и деформаций заключается в сохранении скалярной инвариантности:
where , , and are engineering shear strains. The benefit of using different representations for stress and strain is that the scalar invariance
Аналогично, трехмерный симметричный тензор четвертого ранга можно привести к матрице 6×6.
is preserved. Likewise, a three dimensional symmetric fourth order tensor can be reduced to a 6×6 matrix.
Приложения
Нотация названа в честь физика Вольдемара Войгта и Джона Найя (учёного). Она полезна, например, в расчётах, связанных с конститутивными моделями для моделирования материалов, таких как обобщённый закон Гука, а также при проведении анализа методом конечных элементов и диффузионной МРТ. Закон Гука описывается симметричным тензором жёсткости четвёртого ранга, имеющим 81 компонент (3×3×3×3), но поскольку применение тензора 4-го ранга к симметричному тензору 2-го ранга должно приводить к другому симметричному тензору 2-го ранга, не все 81 элемент являются независимыми. Нотация Войгта позволяет представить тензор 4-го ранга в виде матрицы 6×6. Однако форма Войгта не сохраняет сумму квадратов, которая в случае закона Гука имеет геометрический смысл. Это объясняет, почему вводятся веса (для обеспечения изометричности отображения). Обсуждение инвариантности нотации Войгта и нотации Манделя можно найти в работе Helnwein (2001).
The notation is named after physicist Woldemar Voigt & John Nye (scientist). It is useful, for example, in calculations involving constitutive models to simulate materials, such as the generalized Hooke's law, as well as finite element analysis, and Diffusion MRI. Hooke's law has a symmetric fourth order stiffness tensor with 81 components (3×3×3×3), but because the application of such a rank 4 tensor to a symmetric rank 2 tensor must yield another symmetric rank 2 tensor, not all of the 81 elements are independent. Voigt notation enables such a rank 4 tensor to be represented by a 6×6 matrix. However, Voigt's form does not preserve the sum of the squares, which in the case of Hooke's law has geometric significance. This explains why weights are introduced (to make the mapping an isometry). A discussion of invariance of Voigt's notation and Mandel's notation can be found in Helnwein (2001).