Введение
Теорема из гармонического анализа
В математике лемма Римана — Лебега, названная в честь Бернарда Римана и Анри Лебега, утверждает, что преобразование Фурье или преобразование Лапласа функции L1 стремится к нулю при бесконечности. Она имеет важное значение в гармоническом анализе и асимптотическом анализе.
In mathematics, the Riemann–Lebesgue lemma, named after Bernhard Riemann and Henri Lebesgue, states that the Fourier transform or Laplace transform of an L1 function vanishes at infinity. It is of importance in harmonic analysis and asymptotic analysis.
Заявление
Пусть $f$ — интегрируемая функция, то есть измеримая функция такая, что $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx < \infty$, и пусть $\mathcal{F}[f]$ — преобразование Фурье функции $f$, то есть $\mathcal{F}[f](\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx$. Тогда $\mathcal{F}[f]$ стремится к нулю при $\xi \to \pm \infty$: $\lim_{\xi \to \pm \infty} \mathcal{F}[f](\xi) = 0$. Поскольку преобразование Фурье интегрируемой функции непрерывно, преобразование Фурье $\mathcal{F}[f]$ является непрерывной функцией, стремящейся к нулю при $\xi \to \pm \infty$. Если $\mathcal{C}_0$ обозначает векторное пространство непрерывных функций, стремящихся к нулю при $\xi \to \pm \infty$, то лемма Римана — Лебега может быть сформулирована следующим образом: преобразование Фурье отображает $\mathcal{C}_0$ в $\mathcal{C}_0$.
and let be the Fourier transform of , i. e.
Then vanishes at infinity: as
Because the Fourier transform of an integrable function is continuous, the Fourier transform is a continuous function vanishing at infinity. If denotes the vector space of continuous functions vanishing at infinity, the Riemann–Lebesgue lemma may be formulated as follows: The Fourier transformation maps to .
Доказательство
Мы сосредоточимся на одномерном случае, доказательство в многомерном случае аналогично. Сначала предположим, что функция непрерывна и имеет компактный носитель. Для , подстановка приводит к Это дает вторую формулу для . Усредняя обе формулы, получаем следующую оценку: Поскольку функция непрерывна, при всех , как стремится к . Следовательно, по теореме Лебега о мажорированном сходимости, стремится к 0 при . Если функция является произвольной интегрируемой функцией, её можно приблизить в норме непрерывной функцией с компактным носителем. Для , выберем непрерывную функцию с компактным носителем такую, что Тогда . Поскольку это верно для любого , следует, что при .
Because this holds for any , it follows that as .
Приложения
Лемма Римана — Лебега может быть использована для доказательства корректности асимптотических приближений для интегралов. Строгие обоснования метода крутого спуска и метода стационарной фазы, в частности, базируются на лемме Римана — Лебега.