Кіріспе
Гармониялық талдау саласындағы теорема. Математикада, Бернхард Риман және Анри Лебегтің есімдерімен аталатын Риман-Лебег леммасы, L1 функциясының Фурье түрлендірмесінің немесе Лаплас түрлендірмесінің шексіздікте жоғалатынын көрсетеді. Бұл гармониялық талдау және асимптотикалық талдау үшін маңызды.
In mathematics, the Riemann–Lebesgue lemma, named after Bernhard Riemann and Henri Lebesgue, states that the Fourier transform or Laplace transform of an L1 function vanishes at infinity. It is of importance in harmonic analysis and asymptotic analysis.
Айтылым
Интегралды функция болсын, яғни, өлшенетін функция болсын, мұндағы
and let be the Fourier transform of , i. e.
Then vanishes at infinity: as
Because the Fourier transform of an integrable function is continuous, the Fourier transform is a continuous function vanishing at infinity. If denotes the vector space of continuous functions vanishing at infinity, the Riemann–Lebesgue lemma may be formulated as follows: The Fourier transformation maps to .
және болсын, яғни,
and let be the Fourier transform of , i. e.
Then vanishes at infinity: as
Because the Fourier transform of an integrable function is continuous, the Fourier transform is a continuous function vanishing at infinity. If denotes the vector space of continuous functions vanishing at infinity, the Riemann–Lebesgue lemma may be formulated as follows: The Fourier transformation maps to .
Содан кейін шексіздікте жоғалады: болғанда.
and let be the Fourier transform of , i. e.
Then vanishes at infinity: as
Because the Fourier transform of an integrable function is continuous, the Fourier transform is a continuous function vanishing at infinity. If denotes the vector space of continuous functions vanishing at infinity, the Riemann–Lebesgue lemma may be formulated as follows: The Fourier transformation maps to .
Интегралды функцияның Фурье түрлендіруі үздіксіз болғандықтан, Фурье түрлендіруі шексіздікте жоғалатын үздіксіз функция болады. Егер шексіздікте жоғалатын үздіксіз функциялардың векторлық кеңістігін арқылы белгілесек, Риман-Лебег леммасын былай тұжырымдауға болады: Фурье түрлендіруі кеңістігін кеңістігіне бейнелейді.
and let be the Fourier transform of , i. e.
Then vanishes at infinity: as
Because the Fourier transform of an integrable function is continuous, the Fourier transform is a continuous function vanishing at infinity. If denotes the vector space of continuous functions vanishing at infinity, the Riemann–Lebesgue lemma may be formulated as follows: The Fourier transformation maps to .
Дәлел
Біз бір өлшемді жағдайға назар аударамыз, жоғары өлшемдегі дәлел ұқсас. Біріншіден, функцияның үздіксіз және шектеулі қолдауға ие деп есептейік. үшін, алмастыру келесіге әкеледі. Бұл функцияны екі рет есептеудің екінші формуласын береді. Екі формуланы орташалап, келесі шамалауға жетеміз: себебі функция үздіксіз, барлық үшін -қа жақындайды, сондықтан үстемді конвергенция теоремасы бойынша -қа жақындайды. Егер функция кез келген интегралданатын функция болса, оны -нормада шектеулі қолдауға ие үздіксіз функциямен жуықтауға болады. үшін, шектеулі қолдауға ие үздіксіз функцияны таңдаңыз, онда бұл кез келген үшін орындалғандықтан, келесідей болады: .
Because this holds for any , it follows that as .
Қолданбалар
Риманн-Лебесг леммасы интегралдарға асимптотикалық жуықтамалардың дұрыстығын дәлелдеуге қолданылуы мүмкін. Ең тік төмен түсу әдісі және стационарлық фаза әдісі сияқты әдістердің қатаң қарастырылуы Риманн-Лебесг леммасына негізделген.