Введение

Функция с необычными фрактальными свойствами

В математике функция вопроса Минковского, обозначаемая как размер = 120%, — это функция с необычными фрактальными свойствами, определенная Германом Минковским в 1904 году. Она отображает квадратичные иррациональные числа в рациональные числа на единичном интервале посредством выражения, связывающего цепные дроби квадратичных чисел с двоичными представлениями рациональных чисел, установленного Арно Денжоем в 1938 году. Она также отображает рациональные числа в диирациональные числа, что можно увидеть из рекурсивного определения, тесно связанного с деревом Штерна — Броко.

Квадратные иррациональные

Функция вопросительного знака устанавливает взаимно однозначное соответствие между недиадическими рациональными числами и квадратными иррациональными числами, что позволяет явно доказать счетность последних. Фактически, их можно рассматривать как соответствующие периодическим орбитам диадического преобразования. Это можно продемонстрировать всего в несколько шагов.

Свойства

Функция вопросительного знака является строго возрастающей и непрерывной, но не абсолютно непрерывной функцией. Производная определена почти везде и может принимать только два значения: 0 (её значение почти везде, включая все рациональные числа) и 1. Существует несколько конструкций меры, интеграл которой даёт функцию вопросительного знака. Одна из таких конструкций получается путём измерения плотности чисел Фарея на действительной прямой. Мера вопросительного знака является прототипическим примером того, что иногда называют мультифрактальными мерами. Функция вопросительного знака отображает рациональные числа в диадические рациональные числа, то есть числа, чьё двоичное представление оканчивается, что может быть доказано индукцией из рекурсивной конструкции, описанной выше. Она отображает квадратичные иррациональные числа в недиадические рациональные числа. В обоих случаях она обеспечивает изоморфизм порядка между этими множествами, конкретизируя теорему изоморфизма Кантора, согласно которой любые два неограниченных счётных плотных линейных порядка изоморфны. Это нечётная функция, удовлетворяющая функциональному уравнению ; следовательно, отображение x ↦ ?(x) − x является нечётной периодической функцией с периодом один. Если ?(x) иррационально, то x либо алгебраическая степень которого больше двух, либо трансцендентное число. Функция вопросительного знака имеет фиксированные точки в 0 и 1, а также как минимум ещё две, симметричные относительно средней точки. Одна из них приблизительно равна 0.42037. Мощевитин предположил, что это единственные пять фиксированных точек. В 1943 году Рафаэль Салем задался вопросом, стремятся ли коэффициенты Фурье — Стильтьеса функции вопросительного знака к нулю при бесконечности. Иными словами, он хотел узнать, существуют ли такие коэффициенты. На этот вопрос утвердительно ответили Джордан и Сальстен как частный случай результата о мерах Гиббса. График функции вопросительного знака Минковского является частным случаем фрактальных кривых, известных как кривые де Рама.

Распределение вероятности

Ограничивая функцию Минковского со знаком вопроса ? :[0,1] → [0,1], её можно использовать как функцию кумулятивного распределения сингулярного распределения на единичном интервале. Это распределение симметрично относительно своей середины, с начальными моментами примерно m1 = 0,5, m2 = 0,290926, m3 = 0,186389 и m4 = 0,126992, а следовательно, среднее и медиана равны 0,5, стандартное отклонение составляет около 0,2023, асимметрия равна 0, а эксцесс – около -1,147.