Введение

В математике, максимальная компактная подгруппа K топологической группы G — это подгруппа K, являющаяся компактным пространством в индуцированной топологии и максимальная среди всех таких подгрупп. Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли, и особенно полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли, как правило, не единственны, но определены с точностью до сопряжённости – они по существу единственны.

Пример

Примером может служить подгруппа O(2), ортогональная группа, внутри общей линейной группы GL(2, R). Связанным примером является круговая группа SO(2) внутри SL(2, R). Очевидно, что SO(2) внутри GL(2, R) является компактной и не максимальной. Неединственность этих примеров объясняется тем, что любому внутреннему произведению соответствует ортогональная группа, а существенная уникальность ортогональных групп соответствует существенной уникальности внутреннего произведения.

Определение

Максимально компактная подгруппа — это максимальная подгруппа среди компактных подгрупп, то есть максимальная *компактная* подгруппа, а не просто максимальная подгруппа, которая оказывается компактной; которую, вероятно, назвали бы компактной *максимальной* подгруппой, но в любом случае это не подразумеваемый смысл (и, более того, максимальные собственные подгруппы, как правило, не являются компактными).

Существование и уникальность

Теорема Картана — Ивасавы — Мальцева утверждает, что каждая связная группа Ли (и, вообще, каждая связная локально компактная группа) допускает максимальные компактные подгруппы, и все они сопряжены друг другу. Для полупростой группы Ли единственность является следствием теоремы о неподвижной точке Картана, которая утверждает, что если компактная группа действует изометриями на полном, простосвязном, отрицательно искривлённом римановом многообразии, то у неё есть неподвижная точка. Максимальные компактные подгруппы связных групп Ли обычно не единственны, но они единственны с точностью до сопряжения, то есть для любых двух максимальных компактных подгрупп K и L существует элемент g ∈ G, такой что gKg⁻¹ = L. Следовательно, максимальная компактная подгруппа по существу единственна, и часто говорят о "максимальной компактной подгруппе". Например, для общей линейной группы GL(n, R) это соответствует тому факту, что любое внутреннее произведение на Rn определяет (компактную) ортогональную группу (её группу изометрий) и что она допускает ортонормированный базис: изменение базиса определяет сопрягающий элемент, сопрягающий группу изометрий с классической ортогональной группой O(n, R).

Доказательства

Для реальной полупростой группы Ли доказательство Картана существования и единственности максимально компактной подгруппы можно найти в и , а и рассматривают расширение на связанные группы Ли и связанные локально компактные группы. Для полупростых групп существование является следствием существования компактной вещественной формы некомпактной полупростой группы Ли и соответствующего разложения Картана. Доказательство единственности опирается на то, что соответствующее риманово симметричное пространство G/K имеет отрицательную кривизну и теорему Картана о неподвижных точках. показал, что производная экспоненциального отображения в любой точке G/K удовлетворяет |d exp X| ≥ |X|. Это означает, что G/K является пространством Адамара, то есть полным метрическим пространством, удовлетворяющим ослабленной форме правила параллелограмма в евклидовом пространстве. Единственность может быть выведена из теоремы о неподвижных точках Бруа-Титса. Действительно, любое ограниченное замкнутое множество в пространстве Адамара содержится в единственном наименьшем замкнутом шаре, центр которого называется его центром описанной окружности. В частности, компактная группа, действующая изометриями, должна фиксировать центр описанной окружности каждой из своих орбит.

Теория представления

Максимально компактные подгруппы играют фундаментальную роль в теории представлений, когда G не является компактной. В этом случае максимальная компактная подгруппа K является компактной группой Ли (поскольку замкнутая подгруппа группы Ли сама является группой Ли), для которой теория оказывается проще. Операции, связывающие теории представлений G и K, — это ограничение представлений с G на K и индуцирование представлений с K на G, и они достаточно хорошо изучены; их теория включает теорию сферических функций.

Топология

Алгебраическая топология групп Ли также во многом определяется максимальной компактной подгруппой K. Точнее, связная группа Ли является топологическим произведением (хотя и не групповым произведением) максимальной компактной подгруппы K и евклидова пространства – G = K × Rd – таким образом, в частности, K является ретрактом деформации группы G и гомотопически эквивалентна ей, а следовательно, они имеют одинаковые гомотопические группы. Действительно, включение и ретракция деформации являются гомотопическими эквивалентностями. Для общей линейной группы это разложение является QR-разложением, а ретракция деформации – процессом Грама-Шмидта. Для общей полупростой группы Ли это разложение представляет собой разложение Ивасавы группы G в виде G = KAN, в котором K входит в произведение с сократимой подгруппой AN.